Question

为什么椭圆上的点到焦点的距离比上到准线的等于离心率 准线的方程是什么 为什么

求具体证明

Answer 1

这个是基于椭圆的第二定义:
平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e(即椭圆的离心率，e=c/a)的点的集合（定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数）　其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是x=±a^2/c<焦点在X轴上>或者y=±a^2/c<焦点在Y轴上>)。

焦点在x轴上的标准方程为x²/a²+y²/b²=1,(a>b>0)
其准线方程为x=±a²/c, c=√(a²-b²)

鉴于椭圆的一些性质,还有其他的定义,比如说:
平面上到两定点连线的斜率之积为定值的动点的轨迹为椭圆.(这里对积这个定值有一定的约束条件,因为要排除斜率不存在的情况.不过这个定义也可以看做椭圆的一个性质.)

Answer 2

设P(x,y)是椭圆x²/a²+y²/b²=1上的任意一点，则y²=b²-b²x²/a²，
因为右焦点是F(c,0)，右准线是x=a²/c，
所以PF²=(x-c)²+y²=x²-2cx+c²+b²-b²x²/a²=c²x²/a²-2cx+a²=(cx/a-a)²，
因为cx/a-a<0，所以|PF|=a-cx/a=c/a(a²/c-x)=e(a²/c-x)，
而点P到右准线的距离是d=|x-a²/c|=a²/c-x，
所以|PF|=ed，即|PF|/d=e。
同理可证点P到左焦点与点P到左准线的距离之比也等于离心率e。

Answer 3

设椭圆是x²/a²＋y²/b²=1
(a>b>0),则其右焦点是F(c,0),右
准线
是x=a²/c.若点Q(m,n)是椭圆上任意一点,则点Q到焦点的距离是d1=√[(m－c)²＋n²],点Q到右准线的距离是d2=|m－a²/c|,则：d1/d2=√[(m－c)²＋n²]/|m－a²/c|=√[(m－c)²＋b²－(b²/a²)m²]/|m－a²/c|=√[(c/a)m－a]²/|m－a²/c|=c/a=e