Question

射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE,BN于点F,C,过点C作AM的垂线CD,

垂足为D,若CD=CF,则( )

Answer 1

解：∵∠ABF+∠FBC=90°
∠ABF+∠BAF=90°
∴∠FBC+∠BAF
∵∠BFA=∠ABC=90°,∠FBC+∠BAF
RT△AFB∽RT△ABC
∴AB:AC=AF:AB
∵FC=DC=AB(已知)，
∴FC:(AF+FC)=AF:FC
FC²=AF²+FC·AF
AF²+FC·AF-FC²=0
将AF看成未知数解一元二次方程
AF=[-FC±√(FC²+4FC²)]/2
AF=[-FC±FC√5]/2
∵AF>0 ∴AF=(-FC+FC√5)/2=[FC(√5-1)]/2
∴AF:FC=(√5-1):2①
∵∠EAF=∠FCB, ∠AEF=∠CBF
∴△AFE∽△CFB
∴AE:CB=AF:FC②
由①，②得AE:CB=(√5-1):2
∵CB=AD
∴AE:AD=(√5-1):2

Answer 2

解：如图，设CF=m，AF=n，
∵AB⊥BC，BF⊥AC，
∴∠ABF+∠CBF=90°，∠ABF+∠BAF=90°，
∴∠CBF=∠BAF，又∠ABC=∠BFC=90°，
∴Rt△AFB∽Rt△ABC，
∴AB2=AF⋅AC，又FC=CD=AB=m，
∴m2=n（n+m），
即(
nm)2+
nm-1=0，
∴nm=
5-12或nm=
-
5-12（舍去），
又Rt△AFE∽Rt△CFB，AEAD=
AEBC=
AFFC=
nm=
5-12，
即AEAD=
5-12．
故答案为：5-12．

Answer 3

由于AD∥BC，易得△AEF∽△CBF，那么AE：BC=AF：FC，因此只需求得AF、FC的比例关系即可．可设AF=a，FC=b；在Rt△ABC中，由射影定理可知AB2=AF•AC，联立CD=CF=AB，即可求得AF、FC的比例关系，由此得解．

Answer 4

设FC=m,AF=n ∵RT△AFB∽RT△ABC ∴AB²=AF*AC 又因为FC=DC=AB，∴m²=n（n+m） 解得n/m=（-1±√5）/2 n/m＞0 ∴n/m=（√5-1）/2 又因为RT△AFE∽RT△CFB AE/CB=AF/CF=N/M=(√5-1)/2 即ae/ad=ae/cb=(√5-1)/2

Answer 5

等于（根5减1）除以2