Question

如图所示，三角形ABC中，AD是BC边上的中线，点M在AB边上，点N在AC边上，且角MDN等于90度，

如果BM^2+CN^2=DN^2,求证：AD^2=1/4(AB^2+AC^2).(
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Answer 1

延长ND到E，使得DE=DN,连结BE和ME
又∵DB=DC，∠BDE=∠CDN

∴△BED≌△CND

∴ ∠DBE=∠C，BE=CN
∵∠MDN=90°
∴ ∠MDE=90°
∴在三角形DME中，DM^2+DE^2=ME^2
∴ DM^2+DN^2=ME^2

∵BM^2+CN^2=DM^2+DN^2
∴ BM^2+BE^2=BM^2+CN^2=DM^2+DN^2=ME^2
即BM^2+BE^2=ME^2
∴ ∠MBE=90°
∴ ∠MBD+∠DBE=90°
∴ ∠MBD+∠C=90°
∴ ∠BAC=90°
∴ AB^2+AC^2=BC^2,BC=2AD
∴ AB^2+AC^2=（2AD）^2=4AD^2
即AD^2=1/4(AB^2+AC^2