Question

若N是大于2的整数,求1/(n+1)+1/(n+2)+..+1/2n的最小值 求解啊！！

若N是大于2的“正”整数,

Answer 1

令F(n)=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n
则F(n+1)=1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/2n+1/(2n+1)+1/(2n+2)
F(n+1)-F(n)=1/(2n+1)+1/(2n+2)-1/(n+1)=1/(2n+1)-1/(2n+2)
因为2n+1<2n+2且n>2，因此1/(2n+1)>1/(2n+2)，因此 F(n+1)-F(n)>0
即F(n+1)>F(n)
因此当n取最小时，F(n)最小。
附：最小值比较简单，最大值的结果应该是ln(2)
没留意已有回答，重复了。

Answer 2

解：引入排列｛Dn｝

令 Dn=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+..+1/2n，（n∈N 且n＞2）
则，Dn+1 = 1/(n+2)+1/(n+3)+..+1/2n+1/(2n+1)+1/(2n+2)

∴Dn+1 - Dn = 1/(2n+1)+1/(2n+2) - 1/(n+1) = 1/(2n+1) - 1/(2n+2)

所以有，Dn - Dn-1 = 1/(2n-1) - 1/2n
Dn-1 - Dn-2 = 1/(2n-3) - 1/(2n-2)
…………
D4-D3 = 1/(2*3+1) - 1/(2*3+2)

∵当n∈N 且n＞2时， 1/(2n-1) - 1/2n＞0恒成立，

∴Dn＞Dn-1＞Dn-2＞……＞D4＞D3
即min｛Dn｝= D3 = 1/(3+1)+1/(3+2)+1/(3+3) = 37/60

即1/(n+1)+1/(n+2)+..+1/2n的最小值是 37/60 ，其中n∈N 且n＞2

追问

为什么Dn+1 最后是 1/(2n+2)
呢？

追答

很简单，将Dn展开式中的n全部换成n+1，就可以得到Dn+1了。
Dn+1 = 1/[(n+1)+1] + 1/[(n+1)+2] + . . . +1/[2(n+1)]

而且你还要考虑展开式的连续性，亦即是展开式中每一项的分母都是前一项分母加1，所以Dn+1的展开式实际比Dn展开式多了1项（左边少一项，右边多两项）

有不明白再留言~~