Question

已知函数f(x)=log底数为a真数为(x^2-ax+3),(a＞0，a≠1）满足对任意实数x1,x2,当x1＜x2≤a/2时，总有……

已知函数f(x)=log底数为a真数为(x^2-ax+3),(a＞0，a≠1）满足对任意实数x1,x2,当x1＜x2≤a/2时，总有f(x1)-f(x2)＞0成立，试求实数a的取值范围。写出详细过程。

Answer 1

函数f(x)=log(a)[x²－ax＋3]的真数是M=x²－ax＋3，这是一个二次函数，其对称轴是x=a/2，又已知当x1<x2<a/2时，总有f(x1)>f(x2)，也就是说：x1<x2<a/2 ===>>>>> M(x1)>M(x2) ===>>>>f(x1)>f(x2)
所以，此对数函数的底数满足：a>1
另外，对于对数函数来说，真数必须大于0。即：x²－ax＋3>0恒成立【为什么一定要恒成立呢？原因是题目中有这样一句话：对于任意是x1<x2≤a/2】，所以M的判别式a²－12<0，得：－2√3<a<2√3
从而实数a的取值范围是：1<a<2√3