Question

高二导数。 设函数f(x)=2x^3+3ax^2+3bx+8c在x=1和x=2时取得极值，已求得a=-3，b=4

若存在Xo属于[0,3]，有f(Xo)<c^2成立，求c的取值范围

求过程，求方法在线等谢谢。

Answer 1

分析：既然f（1），f（2）是极值，因为三次项系数为正，所以f（1）是极大值，它大于f（0）和f（2），而在区间【2，3】上，f（x）为增函数，因此【2，3】上f（x）的最大值是f（3），
所以【0，3】上的最大值就是f（1），f（3）中的一个。要使问题中的不等式恒成立，只需使【0，3】上的最大值小于c²。
解：f（1）=5+8c；f（3）=9+8c；∴f（1）＜f（3）
∴在【0，3】上f（x）max=f（3）=9+8c
∴f（3）＜c²，即c²-8c-9＞0
解得c＞9或c＜-1

Answer 2

f'(x)=6x^2+6ax+3b
易知，x1=1和x2=2是方程f'(x)=0的两个根，
所以 x1+x2=-a，x1x2=b/2
解得 a=-3，b=4
若存在Xo属于[0,3]，有f(Xo)<c^2成立，则 [f(x)]min<c^2
而 f(x)在[0,1]增，在[1，2]减,在[2，3]增，f(0)=8c，f(2)=8c-4
从而 最小值为f(2)=8c-4
所以 8c-4<c^2
c^2-8c+4>0
c>4+√2或 c<4-2√2

追问

所以若是存在Xo属于[0,3]，有f(Xo)<c^2成立……则 [f(x)]min<c^2
若是任意X属于[0,3]，有f(X)<c^2成立……则[f(x)]max<c^2
这样理解可以么？

追答

是的，理解完全正确。

Answer 3

f'(x) = 6x^2+6ax+3b,
当x=1和x=2时f(x)取得极值,即f'(1） =f'(2) = 0,
即：6+6a+3b = 0,24+12a+3b = 0.解得a=-3，b=4
所以f(x) = 2x^3-9x^2+12x+8c<c^2,进
一步得： 2x^3-9x^2+12x+16<（c-4)^2
在[0，3]间时，x=1或x=2时取极值，验证得，当X=1时取最大值5
所以(c-4)^2>5,所以c>4+根号5,或c<4-根号5

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