Question

跪求解答一道数列题！！

Answer 1

2a(n)a(n-1)+(n-1)a(n)=3na(n-1) 两边同除a(n)a(n-1)
2+ (n-1)/a(n-1) = 3n/a(n) 设b(n) =n/a(n) 得
2+b(n-1) =3b(n)
3(b(n)-1) = (b(n-1)-1) 所以 b(n)-1 为等比数列,公比为1/3
b(1) =1/a(1) = 2/3
b(n)-1 =(b(1)-1) (1/3)^(n-1) 得b(n)= -(1/3)^n+1
所以a(n)= n/(-(1/3)^n+1)
基于此显然下面即证 （1-1/3）*(1-（1/3)^2)…………（1-（1/3）^n）大于1/2即可
立方展开[1-1/3^(n+1)]^3 = (1-1/[3^(n)])+1/[3^(2n+1)]--1/[1/3^(3n+3)]
显然当n>=2时2n+1<3n+3,而1/[3^(2n+1)]--1/[1/3^(3n+3)] >0
所以[1-1/3^(n+1)]^3 >(1-1/[3^(n)]) 即1-1/3^(n+1) > (1-1/[3^(n)])^(1/3)
所以有
2/3 =(2/3)^1
8/9 > (2/3)^(1/3)
26/27 > (8/9)^(1/3) > (2/3)^(1/9)
80/81 > (26/27)^(1/3) > (2/3)^(1/27)
...
1-1/3^(n+1) >(2/3)^(1/n)
得 左边> (2/3)^(1+1/3+1/9+1/27+...(2/3)^(1/n)）
而1+1/3+1/9+1/27+...(2/3)^(1/n) = 3/2(1-(1/3)^n) <3/2
所以左边>(2/3)^(3/2) = 0.544 > 1/2
所以原式成立

Answer 2

a1=3/2,an=3na(n-1)/[2a(n-1)+n-1]

∵an=3na(n-1)/[2a(n-1)+n-1]
两边同时取倒数得
1/an=[2a(n-1)+n-1]/[3na(n-1)]
1/an=2/3n+(n-1)/[3na(n-1)]
∴n/an=2/3+(1/3)[(n-1)/a(n-1)]
∴n/an-1=1/3*(n-1)/[a(n-1)-1]
∴数列{(n/an)-1}是首项公比为1/3的等比数列
∴n/an-1=(1/a1-1)q^(n-1)
∴n/an-1=[1/(3/2)-1]*(1/3)^(n-1) (n>=1)
∴n/an-1=[2/3-1]*(1/3)^(n-1)
∴n/an-1=(-1/3)*(1/3)^(n-1)
∴n/an=1-(1/3)^n
∴an/n=1/[1-(1/3)^n]
∴an=n/[1-(1/3)^n]

要证a1a2...an<2n! ......(1)
即要证(1/a1)(1/a2)...(1/an)>1/2n!
即(1-1/3)/1*(1-1/3^2)/2*...(1-1/3^n)/n>1/2n!
即(1-1/3)(1-1/3^2)/2...(1-1/3^n)>1/2 .....(2)

先证明，n∈N*时，有(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^n)>=1-(1/3+1/3^2+...1/3^n).....(3)

下面用数学归纳法证明
n=1时(3)式成立
假设n=k时成立，即
(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^k)>=1-(1/3+1/3^2+...1/3^k)
则n=k+1时
(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^k) [1-1/3^(k+1)]>=1-(1/3+1/3^2+...1/3^k)[1-1/3^(k+1)]
=1-(1/3+1/3^2+...1/3^k)-1/3^(k+1)+1/3^(k+1)(1/3+1/3^2+...1/3^k)
>=1-[1/3+1/3^2+...1/3^k+1/3^(k+1)] (3)式成立

故由数学归纳法知(3)式对一切n∈N*均成立

∴(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^n)>=1-(1/3+1/3^2+...1/3^n)
=1-(1/3)[1-(1/3)^n]/(1-1/3)
=1-(1/2)[1-(1/3)^n]
=1/2+1/2(1/3)^n
>1/2
即(2)式成立

从而(1)式成立，即
a1a2...an<2n!

追问

第二问为什么会想到用数学归纳法？(1-1/3)(1-1/3^2)/2...(1-1/3^n)>1/2 .....做到这一步可否就用数学归纳法了？

Answer 3

具体见图片。第两题我还做出来，呵呵

Answer 4

(1)首先两边去倒数得：1/(an*n)=1/3*{1/[an-1*(n-1)]}+2/3;
再待定系数法，设一个数A使得有n/(an)+A=1/3*{(n-1)/[an-1]+A},得-2/3*(A)=2/3,即A=-1；
记bn=n/(an)-1,则有b1=-1/3不为零的，故数列{bn}是以1/3为公比，首项为-1/3的数列。
bn=-1/3(1/3)^(n-1)=-(1/3)^n,所以an=n*(3^n)/[(3^n-1)].(n=1,2,3......)
(2)
首先有1-1/(3^n)=n/an,两边累乘有[1-1/3]*[1-1/(3^2)]*.......[1-1/3^n]=n!/(a1*a2*.....an),若使成立，有[1-1/3]*[1-1/(3^2)]*.......[1-1/3^n]>1/2,数学归纳法证明：[1-1/3]*[1-1/(3^2)]*.......[1-1/3^n]>1-（1/3+1/3^2+......1/3^n)(到此为证明部分，证明起来挺简单的，就略去了）=1-1/3(1-1/3^n)/(1-1/3)=1/2+1/2*(1/3^n)>1/2，故结论成立！！

Answer 5

你自己解吧

Answer 6

= =百度都来了。。你作业题哦？

追问

算是吧

追答

哈哈哈，我都百度过，而且别个回答起来时候我都感觉是些2B问题