Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10，以AB为直径的⊙O'与y轴正半轴

Answer 1

如图，在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10，以AB为直径的⊙O'与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是⊙O'的切线，AD丄CD于点D，tan∠CAD=12，抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点．
（1）求证：∠CAD=∠CAB；
（2）①求抛物线的解析式；
②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形？若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理（1）CD是⊙O'的切线，AD丄CD于点D，AB 是⊙O'的直径，所以：∠CAD=∠CAB
（2）①tan∠CAD=1/2，所以tan∠CAB=1/2，tan∠OCB=1/2，则有OA=2OC，OC=2OB，又因为OA+OB=10，解得OA=8，OB=2，OC=4，所以A、B、C三点的坐标分别为（-8，0）、（2，0）、（0，4），代入抛物线的解析式y=ax^2+bx+c，求得a=-1/4，b=-3/2，c=4，抛物线的解析式为y=-x^2/4-3x/2+4。
②抛物线的解析式为y=-x2/4-3x/2+4可化为。y=(-1/4)(x+3)^2/+25/4，所以抛物线的顶点坐标为（-3，25/4），根据（1）的结果可证明三角形ACD与三角形ACO全等，CD=OC=4，AD=AO=8,
设D（x，y），则有(8-x)^2+y^2=64且x^2+(y-4)^2=16，解得x=-16/5，y=32/5。因此CD的解析式可求得为y=-3x/4+4，把x=-3代入，求得y=25/4，所以抛物线的顶点E在直线CD上。
（3）点P的坐标为（-10，-6）或(10,-36)