Question

复合偏导数问题 高数大大进！

z=f(x*y的平方，x方*y）求z对x的2阶偏导数
我算的是 y4f11+4xy3f12+4x2y2f22+4yf2
答案是y4f11+4xy3f12+4x2y2f22+2yf2
为何出现这个问题
请高手来看看

Answer 1

z=f(x*y^2，x^2 *y）
一阶偏导数= f1*y^2 + f2*2xy
二阶偏导数= y^2(y^2f11 + 2xyf12) + (2xy)' * f2 + (f2)' * 2xy
=y^2(y^2f11 + 2xyf12) +2yf2 + 2xy * ((y^2f21 + 2xyf22)
=y^4 f11 + 4xy^3 f12 + 4x^2*y^2f22 + 2yf2
你出错的原因是：没有把(2xy)' * f2算对，这个应该是2yf2，而不是4yf2

追问

那求二阶混合偏导数呢？

追答

比如这个题求二阶混合，就在一阶对X的偏导数基础上在对Y求一次：
二阶混合偏导数 = (f1*y^2 + f2*2xy) ' …………这次对Y求
=2yf1 + y^2*(f1)' + 2xy*(f2)' + 2xf2
=2yf1 + y^2*(2xyf11+x^2f12) + 2xy*(2xyf21 + x^2f22) + 2xf2
=2yf1 + 2xy^3f11 + 5x^2y^2f12 + 2x^3yf22 + 2xf2 (f12=f21)