Question

2011新课标高考理数21题 我的解法

已知函数f(x)=alnx/(x+1) + b/x ，曲线y=f(x)在点（1，f（1））处切线方程为x+2y-3=0

如果当x＞0，且x≠1时，f(x)＞lnx/(x-1) + k/x ，求k的取值范围

注：求出a=1 b=1

我的做法：分离变量 得出k＜（-x^2+2xlnx+1)\(1-x^2)恒成立
再设g(x)=（-x^2+2xlnx+1)\(1-x^2)再求三次导可以得出k＜1
可答案是k≤0

请数学高手班帮忙解释一下是哪出错了~~

Answer 1

解：这题你的不能说有错。我的揭发如下。

(1) 切线方程变形为 y=(-1/2)(x-1)+1

可见斜率k=-1/2, f(1)=1

f'(x)=[a(x+1)/x-alnx]/(x+1)^2-b/x^2

已知k=f'(1)=(2a)/4-b=-1/2   即a-2b=-1     (1)

f(1)=b=1           

代入(1)得   a=1

(2) 当x>0时  f(x)=lnx/(x+1)+1/x

f(x)-lnx/(x+1)-k/x=(1-k)/x>0

只要1-k>0即可

所以k<1

不过，(1) 切线方程变形为 y=(-1/2)(x-1)+1

可见斜率k=-1/2, f(1)=1

f'(x)=[a(x+1)/x-alnx]/(x+1)^2-b/x^2

已知k=f'(1)=(2a)/4-b=-1/2   即a-2b=-1     (1)

f(1)=b=1           

代入(1)得   a=1

(2) 当x>0时  f(x)=lnx/(x+1)+1/x

f(x)-lnx/(x+1)-k/x=(1-k)/x>0

这种方法得出来的和你一样。但是，还有别的方法。

这样就可以了

追问

你图中给的揭发 为什么k≥1时h‘（x）＞0？？

追答

这是个古老的问题，即恒成立求字母的范围. 问题等价于((lnx)／(x2－1))<－0.5(k－1)(1／x). 需要构造函数.

方法一: 讨论k的范围, 令m = 0.5(k－1), 构造函数h (x) =(lnx)－m(x－(1／x)). 求导后再构造函数g (x) =(－m+x－m)／x2, 使不等式成立的必要条件是g (x)在x=1附近必为减函数, 得到范围之后验证为充要条件即可.

方法二: 分离变量得 ((xlnx)／(x2－1)) <－0.5(k－1), 构造函数h (x) = ((xlnx)／(x2－1)), 多次求导证明h (x)在(0,1)上为增函数, 在(1,+ ∞)上为减函数. 利用洛比达法则求出 h (x) 在 x=1 处的极限即可.

这两种方法可能更好理解。

Answer 2

解：f(1)=b,
由题，x+2y-3=0过点(1,b)
代入解得b=1
相切，有f'(a)=a/2-b=a/2-1=-1/2
解得a=1
故f(x)=lnx/(x+1) +1/x
x>0且x≠1时，f(x)＞lnx/(x-1) + k/x
整理得
k<1-2xlnx/(x-1)(x+1)在x>0且x≠1时恒成立
设h(x)=xlnx/(x-1)(x+1),原问题等价于求h(x))在x>0且x≠1上最大值
h'(x)=[-x²lnx-lnx+x²-1]/(x²-1)²
令g(x)=-x²lnx-lnx+x²-1
g'(x)=2x-2xlnx-x-1/x
g"(x)=1/x²-2lnx-1
g'"(x)=-2/x³-2/x<0
故g"在定义域内↓，g"(1)=1-1=0
0<x<1,g">0.g'↑；1<x，g"<0,g'↓
g'(x)<g'(1)=0,故g(x)在定义域内↓,g(1)=1-1=0
0<x<1,g>0.h'>0,h↑；1<x，g<0,h<0,h↓
h(x)<h(1)=lim(x→1)xlnx/(x-1)(x+1)=1/2
从而1-h(x)>1/2
于是k的取值范围是（-∞，1/2）

追问

可答案是k≤0

追答

我做出来就是这个