Question

设a<b<c<d,求|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值。

Answer 1

解：设a，b，c，d，x在数轴上的对应点从左向右分别为A，B，C，D，X，则|x-a|表示线段AX之长，同理，|x-b|，|x-c|，|x-d|分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求|x-a|，|x-b|，|x-c|，|x-d|之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．
因为a＜b＜c＜d，【自己刻画出数轴，x在B、C之间】
所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，
即（d-a）+（c-b）．

Answer 2

到四边形四顶点距离和最小的是对角线交叉点。
将四边形压扁到一条线，对角线交叉点在中间两点的中间
所以在bc间取一点x求结果得：x-a+x-b+c-x+d-x=c+d-a-b.

Answer 3

画个数轴可以直观的猜测b<x<c时最小，最小值是d-a+c-b下面证明
|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|
=(|x-a|+|d-x|) + (|x-b|+|c-x|)
>=|x-a+d-x| + |x-b+c-x|
=|d-a|+|c-b|
=d-a+c-b
当x=c时，
原式=c-a+c-b+0+d-c=d-a+c-b
前面的不等式取得等号
所以d-a+c-b是它的最小值