Question

设▲ABC的三个内角A、B、C所对的边a、b、c、且满足csinA=acosC。若根号3sinA-cos（B+π/4）的最大值

求取得最大值时角A、B的大小

Answer 1

因为csinA=asinC（正弦定理），而已知csinA=acosC，所以sinC=cosC，所以C=π/4，所以A+B=3π/4，即A=3π/4-B。因此sinA=cos[(π/2)-A]=cos[B-(π/4)]，因此3sinA-cos（B+π/4）=3cos[B-(π/4)]-cos（B+π/4）=3cosBcos(π/4)+3sinBsin(π/4)-cosBcos(π/4)+sinBsin(π/4)=2cosBcos(π/4)+4sinBsin(π/4)，然后就可以化为一个三角函数值，求最大值了。因为根号不好表示，我就不继续写了。

Answer 2

解：
csinA=acosC => a/c = sinA/cosC
由正弦定理 a/c = sinA/sinC
∴ sinC =cosC => ∠C = π/4
∴ ∠A + ∠B = 3π/4 ==> ∠B = 3π/4 - ∠A
3sinA - cos(B+π/4)
= 3sinA - cos( 3π/4 - A +π/4)
= 3sinA + cosA
= √10*sin(A+θ)
其中 sinθ = √10/10；tanθ = 1/3
∵ 0< tanθ < √3/3
∴ 0 < θ < π/6
∠A 的取值范围是 (0,3π/4 )
因此 3sinA - cos(B+π/4) = √10*sin(A+θ) 的最大值为√10；
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无法得出 A为直角的结论，只要 C= π/4，等式就成立；
A 可在(0,3π/4 )上任意取值。