Question

若P(x,y)是椭圆x²/12+y²/4=1上的一个动点,求xy的最大值

Answer 1

法一：显然x和y同号时取到最大值 ，令x>0,y>0
由均值不等式
x^2/12+y^2/4>=2√(x^2/12*y^2/4)=(1/√12)xy
即1>=(1/√12)xy
xy<=√12
所以最大值=2√3

法二：a=2√3 b=2
由对称性 取第一象限的点（x,y)
椭圆参数方程是
x=2√3cosα
y=2sinα

所以xy=2√3*sin2α≤2√3

Answer 2

解：设xy=k 则有：y=k/x 代入椭圆方程得：
x²/12+k²/4x²=1

因：x²/12+k²/4x²≥2√(k²/48)=k/2√3
即：k/2√3≤1
所以可得：k最大值为：2√3