Question

线性代数行列式用数学归纳法证明

cosα 1
1 2cosα 1
1 2cosα 1
Dn=| . . . |=cosnα
. . .
. . .
1 2cosα 1
1 2cosα

Answer 1

显然n=1时，行列式为cosa成立，n=2时，行列式等于cosa * 2cosa -1 = cos2a成立

我们对这个行列式从最后一行展开，显然
对于最后一个2cosa，对应的余子式＝D(n-1)
对于最后一行的那个1，如果对应的余子式为S(n-1)，则
D(n) = 2cosa D(n-1) - S(n-1)
S(n-1) = 2cosaD(n-1) - D(n)
S(n) = 2cosa D(n) -D(n+1)
如果命题对所有n都成立，则要求
S(n) = 2cosa cos(k)a -cos(k+1)a
显然，当n=2时，S(2)对应的矩阵为
cosa 0
1 1
S(2)= cosa
而2cosa cos2a -cos(2+1)a = 2cosa cos2a - cos2a cosa +sin2asina = cos2acosa +sin2asina = cosa
所以S(n) = 2cosa cos(k)a -cos(k+1)a 在n=2时成立
我们假定对于n<=k，D(n), S(n)都满足上述公式
则当n=k+1时，D(k+1)= 2cosa D(k) - S(k) = 2cosa coska - 2cosa coska +cos(k+1)a
= cos(k+1)a
S(k+1) = 2cosa D(k+1) -D(k+2) = 2cosa cos(k+1)a - cos(k+2)a
所以证明S(n)和D(n)在n=K+1也成立
命题得证