Question

将函数f(x)=sinx/2展开成x的幂级数

Answer 1

解答：题设函数的各阶求导：
f^(n)(x)=(1/2)^n*sin(1/2x+nπ/2) ；其中n=0、1、2、3、……
而：
f^(n)(0)取值为：0、1/2、0、-1/8、0、1/32……；（n=0、1、2、3、……）
因此f（x）的迈克劳林级数为：
f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+……+f^(n)X^n/n!+……；
具体代入：
0+x/2+0-(x^3/8)/3!+0+(X^5/32)/5!-……+(-1)^n(1/2)^nX^(2n+1)/(2n+1)!+……
化简：x/2-(x^3/8)/3!+(X^5/32)/5!-……+(-1)^n(1/2)^nX^(2n+1)/(2n+1)!+……
该级数的收敛半径为R=+无穷大；
检验：|X-X0|<R 内，极限limRn（X)=0；（注n——>无穷）
因此，综上可得：
y=sinx/2的展开幂次级：
sinX/2=x/2-(x^3/8)/3!+(X^5/32)/5!-……+(-1)^n(1/2)^nX^(2n+1)/(2n+1)!+……（注X∈R）

但愿对你有帮助！！！！！！！！祝你学习进步！！！

Answer 2

(sinx)/2= 0.5(x-x^3/3!+x^5/5!+...(-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)!)
sin(x/2)= x/2-x^3/(3!*2^3)+x^5/(5!*2^5)+...(-1)^n*x^(2n+1)/[(2n+1)!*2^(2n+1)])

Answer 3

假如你知道sinx的展开式，将这个式子中的x换成x/2即可。

追问

不好意思，主要是我不会，必须要演算过程才可以。

追答

就是和sinx的过程一样。

展开式有直接展开和间接展开两种方式。理论上说所有能间接展开的都能直接展开。
基本初等函数中，n阶导数能求出表达式的就直接展开，具体的有sinx,exp(x)(e的x次幂)，ln(1+x).(1+x)的m次幂（m不是整数的情况）。
其他的函数，例如cosx也可以直接展开，但利用sinx的展开式求导更方便。
展开式一般的是间接展开。就是利用已知的展开式来展开，应该掌握的展开式除上述的以外还有1/(1+x).