Question

三角函数求最值 高一题目

若x属于-60°到45°闭区间 求函数y=（1/cos²x）+（2tanx）+1 的最值及相应的x的值 麻烦给过程

Answer 1

画出三角函数的图像（sin跟cos的），很容易得到cos是大于0的，sin在cos的下方或等于，所sinx+cosx＞0，cosx＞0.（题目已经说明定义域是-60°到45°了）
y=（1/cos²x）+（2tanx）+1
=(1+2sinxcosx)/cos²x +1 ......【通分】
=(sin²x+cos²x+2sinxcosx)/cos²x +1 .......【1=sin²x+cos²x】
=(sinx+cosx)²/cos²x +1 ......【平方和公式】
=[(sinx+cosx)/cosx]² +1
=[(sinx/cosx) +1]² +1
=[tanx +1]²+1
∵y=tanx在(-90°,90°)是增函数，
∴tanx在[-60°,45°]的最大值是tan45°=1，最小值是tan-60°= - 根号3＞-1
∴y最大值=[1+1]²+1=5
最小值=[-1+1]²+1=1

Answer 2

x∈[-π/3,π/4],
∴tanx∈[-√3,1].
y=1/（cosx)^2+2tanx+1
=(tanx)^2+2tanx+2
=(tanx+1)^2+1,
当x=-π/4时y取最小值1；
当x=π/4时y取最大值5。

Answer 3

写过程太麻烦了，就给个提示吧！把前两项结合，并把第一项的分子看作sin^2x+cos^2x,然后通分，原式=（sin^2x+2sinxcosx+cos^2x）/cos^2x+1=1+（1+tanx）^2，这样就可以求了，不会可以追问

Answer 4

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