Question

微积分 数列和函数极限 求详细解答 求数学大人辅导帮助 万谢！

1.（x→0）lim cot x((1/sin x) - (1/x)) = ?
2.（x→∞）lim x [ sin ln (1+(3/x)) - sin ln (1+(1/x))] = ?
3.（n→∞）lim ((n-2) / (n+1))^n = ?
4.（n→+0）lim (1/√x)^(tan x) = ?
5.设a为非零常数，则（x→∞） lim((x+a)/(x-a))^x =?

Answer 1

这些个题你反复用等价无穷小替换、罗比达法、换元法则还有常用e的极限式就是了，没什么好说的，你只有反复多做题多联系才能熟练。
第一题：要用sinx ~ x 以及罗比达法则：
原式 = lim (x趋于0) cos(x) [x - sin(x)] / [x(sin(x))^2] (通分而已)
= lim (x趋于0) [x - sin(x)] / [x(sin(x))^2]
(cos(x)极限是1，能求出有限极限的就先求，求完了拿出来省事)
= lim (x趋于0) [x - sin(x)] / x^3 (分母等价无穷小替换，这样方便用罗比达)
= lim (x趋于0) sin(x) / (6x) (对上面的用两次罗比达就得到这个)
= 1/6.
第二题：换元、无穷小替换、罗比达
看到ln(1+x)马上就换成x，这里x虽然趋于无穷，但1/x和3/x正好趋于0，这样就能替换了：
原式 = lim (x趋于无穷) x [ sin (3/x) - sin (1/x) ]
= lim (t 趋于0) [sin(3t) - sin(t)] / t (下面要用罗比达了)
= lim (t趋于0) 3cos(3t) - cos(t) = 2
都是这个套路，先替换或者换元，换成简单形式了，用罗比达一举搞定。
第三题：想方设法化成极限e的形式
原式 = lim (n趋于无穷) [(n+1-3)/(n+1)]^n
里面的式子，(n+1-3)/(n+1) = 1 + (-3)/(n+1)，然后你就把 (n+1)/(-3)看成e极限里面的n，就搞定了。
[(n+1-3)/(n+1)]^n = { [1 + (-3)/(n+1) ] ^ ((n+1)/(-3)) } ^ [(-3n)/(n+1)]
这是在配指数，因为e极限的形式里，指数上要求是里面的分母，所以先配好e的极限形式，这是第一个指数怎么来的，第二个指数是为了抵消它，然后再乘以原来的n。这样，整个大括号里面的极限就是e，而剩下部分的极限是-3，所以原极限就是exp(-3)；
第五题也是如法炮制，你自己算吧，答案是exp(2a)，不写了，也得让你练习练习。
第四题：
看不懂哪里有n，难道是在开n次方吗？还是你的极限是关于x的。我就当你是x趋于0正的极限好了。这里就是用到取对数、tanx ~ x以及罗比达。
原式 = lim (x趋于0正) 1 / x^(tan(x) / 2)，求出分母的极限即可。
分母是0的0次方不定式，所以要取对数来求极限：
ln (x^ (tan(x) / 2)) = [tan(x)/2] ln(x) ~x ln (x) /2
x ln (x) = ln (x) / (1/x)，对它用罗比达，上下求导后得到 - (1/x ) / (1/x^2) ，极限就是0，于是
ln (x^ (tan(x) / 2)) 趋于0 ，x^ (tan(x) / 2)趋于1，答案是1.

Answer 2

鉴于就给这么少分，就只给简略过程了
1 1/6 通分之后替换
2 2 和差化积
3 e的-3次方
4 1 加一个ln，算lny的极限再得出答案
5 e的2a次方

Answer 3

1. 1/6
2. 2
3. e^-3
4. 1
5. e^2a