Question

如图,抛物线y=ax2-3ax+b经过A（-1,0）C（3，-2）两点，与Y轴交点于D，与X轴交于另一点B。

①求此抛物线的解析式
②若直线Y=KX+1(K不等于0)将四边形ABCD面积二等分，求K的值
快点

Answer 1

解：
1、将A、B坐标代入方程，得
4a+b=0
b=-2
则抛物线方程为：y=1/2x^2-3/2x-2
2、 由此得四点坐标A(-1,0),B(4,0),C(3,-2),D(0,-2)
高直线y=kx+1交AB，DC于点MN，则M坐标为M(-1/k,0).设N点坐标为(xn,-2)
依梯型面积公式知道，高相等，则上下底之和相等，则面积相等，则有 AM+DN=MB+NC
-1/k+1+xn=4+1/k+3-xn 即
xn-1/k=3 (1)
又MN两点斜率为K，或
2=k*(-1/k-xn)
xn*k=-3 (2)
(1)(2)两式得
xn=9/4
k=-4/3

Answer 2

如图,抛物线y=ax²-3ax+b经过A（-1,0）C（3，-2）两点，与Y轴交点于D，与X轴交于另一点B。
①求此抛物线的解析式
②若直线Y=KX+1(K不等于0)将四边形ABCD面积二等分，求K的值
解：①将A，C的坐标依次代入抛物线方程得：
a+3a+b=0...........(1)
9a-9a+b=-2........(2)
由(2)得b=-2，代入(1)式得a=1/2；
故抛物线的解析式为y=(1/2)x²-(3/2)x-2.
②令y=(1/2)x²-(3/2)x-2.=(1/2)(x²-3x-4)=(1/2)(x-4)(x+1)=0，得x₁=-1，x₂=4.
故A点的坐标为（-1，0)；B点的坐标为(4，0)；于是得︱AB︱=4-(-1)=5；︱OD︱=2；
D点的坐标为（0，-2)；令(1/2)x²-(3/2)x-2=-2，解得x²-3x=x(x-3)=0，故得x=3，即C点的坐标
为(3，-2)，故︱CD︱=3；于是梯形ABCD的面积S=(1/2)(5+3)×2=8.
②设直线y=kx+1与x轴相交于E，则E的坐标为(-1/k，0)，与水平线BC相交于F，则F的坐标为
(-3/k，-2)；于是︱ED︱=4+(1/K)，︱FC︱=3+(3/K)；故梯形EFCD的面积=(1/2)(7+4/k)×2
=7+4/k=4，4/k=-3，故k=-4/3.