Question

设定义在R上的函数f（x），对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x)*f（y），且当x>0时，恒有f（x）>1.证明：

1)求f(0)的值.
2)求证：当x∈R，恒有f（x)＞0.
3）若f(x+a)＞f（x²+3x-1）恒成立，求实数a的取值范围.
当x>0时，恒有f（x）>1.更改为当x＞0时，0＜f（x)＜1

Answer 1

证明：1)
令x=1,y=0则有
f（x+y）=f(1+0)=f(1)*f(0)=f(1)∵当x>0时，0＜f（x）＜1∴f(1)＞0∴f(0)=1
2)当x>0时，0＜f（x)＜1∴恒有f（x)＞0.
当x＝0时f(0)=1＞0
当x＜0时，令y=-x则有
f（x+y）=f(x-x)=f（x）*f(-x)=f(0)=1∴f(x)=1/f(-x)
∵x＜0∴-x＞0∴f(-x)＞0∴f(x)=1/f(-x)＞0
综上所述：当x∈R，恒有f（x)＞0.
3）当x＞0 y＞0时x＜x+y 0＜f（y）＜1
f（x+y）=f（x)*f（y）
f（x)=f（x+y）/f（y）＞f（x+y）
∴当x＞0 函数f（x）为减函数
当x＜0 y＜0 时有x＞x+y -x＞0 0＜f(-x )＜1
f(x)=1/f(-x)＞1
f（x+y）=f（x)*f（y）
f（x)=f（x+y）/f（y）＜f（x+y）
∴当x＜0 函数f（x）为减函数
当x=0时f(x+a)＞f（x²+3x-1）即为f(a)＞f(1)
∴当x∈R x≠0若f(x+a)＞f（x²+3x-1）恒成立有
x+a＜x²+3x-1恒成立
x²+2x-1-a＞0恒成立
⊿=2²-4×﹙-1-a﹚=8+4a＜0恒成立
∴a＜-2

当x=0时f(x+a)＞f（x²+3x-1）即为f(a)＞f(1)

a＜1

Answer 2

（2x+y）^2=〔2/（√3）×√3x+1/（√2）×√2y〕^2≤（4/3+1/2（3x^2+2y^2）≤11
故｜2x+y｜≤√11设 k=2x+y, x,y∈R 则 y=k-2x. 由已知. 3x^2+2(k-2x)^2≤6, 即 11x^2-8kx+(2k^2-6)≤0. 令 f(x)=11x^2-8kx+(2k^2-6). 则 y=f(x)的图象与x轴有两个交点. 所以 0≤Δ =(-8k)^2-44(2k^2-6) = -24(k^2-11). 即 k^2-11≤0. 解得 |k|≤√11. 即 |2x+y|≤√11.

如果用线性规划，换成 3x^2+2y^2≤6 椭圆及其内部的点到直线：2x+y的距离
显然只需证明 ｜2x+y｜/√5≤√（11/5）即可
证明 (3x-4y)²/6≤11