Question

已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2 ，D为CC1中点 E为BC的中点、 求证：1.BD⊥平面AB1E 2.

求直线AB1与平面BB1C1C所成角的正弦值

Answer 1

取CD的中点F,连接EF,FB1.AF.
求得:AE^2 = 3, EF^2 =1+1/4, AF^2 =4+1/4.
知有:AE^2 + EF^2 = AF^2 即:角AEF= 90度. FE垂直AE. (1)
同样有:FB1^2 = 4+9/4, B1E^2 = 4+1.
有:EF^2 +B1E^2 = B1F^2
即角B1EF= 90度., FE垂直于B1E (2)
由(1) (2) 知EF垂直于平面AB1E. (垂直于平面上的两相交直线,就垂直于这平面 &&&&)
又BD//EF. (中位线定理)
故知BD垂直于平面AB1E.
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知AE垂直于BC,
又BB1垂直于平面ABC, 故BB1垂直于AE.(垂直于平面,就垂直于平面上的任何直线)
知AE垂直于平面BB1C1C.(&&&&)
故角AB1E即为AB1与平面BB1C1C的角.
在三角形AB1E中.AB1 =2根号2.
由余弦定理,cos角AB1E =[8+5-3]/[2*2(根号2)*根号5]=(根号10)/4.
求得:sin角AB1E = (根号6)/4
直线AB1与平面BB1C1C所成角的正弦值为:(根号6)/4.