Question

两道数学题！要详解！快！！！！！！！

1.已知x、y是整数，且5x-y的值能被3整除，二次三项式10x^2+23xy-5y^2的值能被9整除吗？为什么？
2.已知x不等于y，且x^2-x=2,y^2-y=2,求代数式x^2-xy+y^2的值
注：x^2代表x的平方

Answer 1

1楼的解法虽然也对，但是可惜第二题题目抄错了～～

1.已知x、y是整数，且5x-y的值能被3整除，二次三项式10x^2+23xy-5y^2的值能被9整除吗？为什么？
解：
10x^2+23xy-5y^2
=(5x-y)(2x+5y)
=(5x-y)(5x-y-3x+6y)
=(5x-y)^2-3(5x-y)(x-2y)
因为5x-y是3的倍数，所以(5x-y)^2和3(5x-y)都是9的倍数
所以能被9整除

2.已知x不等于y，且x^2-x=2,y^2-y=2,求代数式x^2-xy+y^2的值
解：
因为x不等于y，且x^2-x=2,y^2-y=2
所以x、y分别是方程z^2-z-2=0的两根
x^2-xy+y^2
=x^2+y^2+2xy-3xy
=(x+y)^2-3xy
根据韦达定理，x+y=1, xy=-2
所以x^2-xy+y^2=1+6=7

Answer 2

解：设有x只猴子和y颗花生，则：

y-3x=8, ①

5x-y＜5， ②

由①得：y=8+3x, ③

③代入②得5x-(8+3x)＜5,

∴ x＜6.5

因为y与x都是正整数，所以x可能为6，5，4，3，2，1，相应地求出y的值为26，23，20，17，14，11.

经检验知，只有x=5，y=23和x=6，y=26这两组解符合题意.

答：有五只猴子，23颗花生，或者有六只猴子，26颗花生.

例8（1986年上海初中数学竞赛题）在一次射箭比赛中，已知小王与小张三次中靶环数的积都是36，且总环数相等，还已知小王的最高环数比小张的最高环数多（中箭的环数是不超过10的自然数），则小王的三次射箭的环数从小到大排列是多少？

解 设小王和小张三次中靶的环数分别是x、y、z和a、b、c,不妨设x≤y≤z，a≤b≤c，由题意，有：

因为环数为不超过10的自然数，首先有z≠10，否则与①式矛盾.

若设z=9,则由①知：xy=4,

∴x=2,y=2,或x=1,y=4,

∴x+y+z=13或x+y+z=14.

又由②及c＜z知，c|36，∴c=6，这时，ab=6.

∴a=2，b=3，或a=1，b=6

∴a+b+c=11或a+b+c=13

又由③知：x+y+z=a+b+c=13

∴取x=2，y=2，z=9.

答：小王的环数分别为2环，2环，9环.

例9（1980年苏联全俄第6届中学生物理数学竞赛题）一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的乘客人数相等，起初，每辆汽车乘了22人，结果剩下一人未上车；如果有一辆汽车空车开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上，已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车？有多少名旅客？

解 设起初有汽车k辆，开走一辆空车后，平均每辆车所乘的旅客为n名，显然，k≥2，n≤32，由题意，知：22k+1=n(k-1)，

∴k-1=1，或k-1=23,

即k=2，或k=24.

当k=2时，n=45不合题意，

当k=24时,n=23合题意，

这时旅客人数为n(k-1)=529.

答：起初有24辆汽车，有529名旅客

Answer 3

第一道题：

5x-y能被3整除，设(5x-y）/3=a a是整数

则y=5x-3a

带入二次三项式得 =10x^2 + 23x(5x-3a) - 5(5x-3a)^2
=10x^2 +115x^2 -69ax -125x^2 -45a^2 +150ax
=81ax -45a^2
=9(9ax -5a^2)
因为a是整数，，所以可以整除

第二道题：
x^2-x=2,y^2-y=2, x不等于y,解得 x=2, y=-1
或者颠倒过来
代入代数式
=4-2*（-1）+（-1)^2
=7

应该是这样

Answer 4

第二道题：
x^2-x=2,y^2-y=2, x不等于y,解得 x=2, y=-1
或者颠倒过来
代入代数式
=4-2*2*（-1）+（-1)^2
=9