Question

微积分 函数极限 求数学达人详细解答！ 万分感谢!

求极限 (x→+∞) lim (x ^ (1/x) - 1) ^ (1 / ln x) = ?
求详细解答

Answer 1

解：
设 f(x) = (x ^ (1/x) - 1) ^ (1 / ln x) ==> ln[f(x)] =ln[(x ^ (1/x) - 1)]/ln x
设 g(x) = x ^ (1/x) ==> ln[g(x)] = (lnx)/x /**两边求导**/
==> g'(x)/g(x) = (1-lnx)/x²
==> g'(x) = g(x)*(1-lnx)/x²

(x→+∞) lim ln[f(x)] = (x→+∞) lim ln[g(x) - 1]/ln x /** ∞/∞型，使用罗毕达法则**/
= (x→+∞) lim g‘(x)* x/[g(x)-1] /**g'(x) = g(x)*(1-lnx)/x²
= (x→+∞) lim [g(x)*(1-lnx)/x]/[g(x)-1] /**0/0型，使用使用罗毕达法则**/
= (x→+∞) lim [g‘(x)*(1-lnx)/x - g(x)*(2-lnx)/x²]/g’(x)
= (x→+∞) lim [g(x)*(1-lnx)/x² *(1-lnx)/x - g(x)*(2-lnx)/x²]/[g(x)*(1-lnx)/x²]
= (x→+∞) lim [(1-lnx)/x - (2-lnx)/(1-lnx)] /** ∞/∞型，使用罗毕达法则**/
= (x→+∞) lim [1/x - 1] = -1;
因此：
(x→+∞) lim (x ^ (1/x) - 1) ^ (1 / ln x) = (x→+∞) lim[f(x)] =1/e；

Answer 2

看图片

追问

非常感谢，但是只能选一个，楼上那哥们比你早，所以就选他了。不过真的非常感谢你！