Question

已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC,∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC

（1）求证：AB=AF
（2）若∠ABC=30°，连接AG，判断四边形AGCD是什么特殊的平行四边形？并证明你的结论

Answer 1

证明：（1）因为 DE垂直于AC于F，
所以 角AFE=角ABC=90度，
又因为 角BAC=角FAE，AE=AC，
所以 三角形ABC全等于三角形AFE，
所以 AB=AF。
（2）若角ACB=30度，则四边形AGCD是菱形。（你题中的角ABC=30度是写错了）
证明：连结AG。
因为 三角形ABC全等于三角形AFE，
所以 AB=AF，AE=AC，
又 AG是公共边，
所以 三角形AEG全等于三角形ACG，
所以 角GAC=角BAG=角BAC/2
因为 三角形ABC中，角ABC=90度，角ACB=30度
所以 角BAC=60度，角GAC=角BAC/2=30度，
所以 角GAC=角ACB，AG=GC，
因为 AD//BC ，
所以 角DAC=角ACB=30度，
所以 角GAC=角DAC
又因为 DE垂直于AC于F，
所以 AD=AG=GC，
因为 AD=GC，AD//BC，
所以 四边形AGCD是平行四边形，
又因为 AG=GC，
所以 平行四边形AGCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）

Answer 2

（1）∵∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，
∴∠ABC=∠AFE.
∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，
∴△ABC≌△AFE
∴AB=AF．
连接AG，
∵AG=AG，AB=AF，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG．
∴BG=FG；

（2）解：∵AD=DC，DF⊥AC，AF= 二分之一AC=二分之一 AE．
∴∠E=30°．
∴∠FAD=∠E=30°，
∴AF= 根号3．
∴AB=AF=根号3 ．