Question

1+x分之根号x的不定积分

Answer 1

 2√x - 2arctan(√x) + C。

∫ √x/(1 + x) dx

= 2∫ x/(1 + x) • 1/(2√x) dx

= 2∫ (x + 1 - 1)/(1 + x) d√x

= 2∫ d√x - 2∫ d√x/(1 + x)

= 2√x - 2arctan(√x) + C

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。

Answer 2

∫ √x/(1 + x) dx
= 2∫ x/(1 + x) • 1/(2√x) dx
= 2∫ (x + 1 - 1)/(1 + x) d√x
= 2∫ d√x - 2∫ d√x/(1 + x)
= 2√x - 2arctan(√x) + C