Question

已知a〉0，b〉0，且a+b=1，求证：根号（a+1/2）+根号（b+1/2）<=2

已知a〉0，b〉0，且a+b=1，求证：根号（a+1/2）+根号（b+1/2）<=2

Answer 1

求证上式即可化为求根号（（a+1/2）+根号（b+1/2））^2<=4

（（a+1/2）+根号（b+1/2））^2
=a+1/2+b+1/2+2*根号((a+1/2)*（b+1/2))

因为a+b=1 , ab<=1/4(不等式性质)
所以 原式=3+根号（ab+1/2(a+b)+1/4)<=4

所以 根号（a+1/2）+根号（b+1/2）<=2 成立

Answer 2

由基本不等式：(x+y)/2<=根号[(x^2+y^2)/2]，等号当且仅当x=y时成立
所以根号（a+1/2）+根号（b+1/2）<=2根号[(a+b+1)/2]=2
等号当且仅当a=b=1/2时成立