Question

求助，一道初中数学题，详细解答者重赏

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax^2-2ax-2与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，且S三角形ABC=4.
1，求抛物线的解析式。
2，如图，点p在线段BO上，从B点出发向点O运动，同时Q点在射线OC上，从C点出发向y轴负半轴运动，它们的运动速度相同，连接PQ交BC于D，设PB=m。
（1）点P,Q运动过程中，是否存在三角形POQ与三角形AOC,BOC分别相似的情况？若存在，分别求出m的值，若不存在，说明理由。
（2）在点P,Q运动过程中，三角形PDB与三角形QCD的面积之差记为y，试求y与m的函数解析式。
一定要详细的过程，回答的好的加分！O(∩_∩)O谢谢。

Answer 1

1（1）求抛物线与坐标轴的交点，
令x=0，得y=-2，即C为（0，-2）。令y=0，得ax^2-2ax-2=0,，设A，B的横坐标分别为x1，x2，则，x1+x2=2（a），又因s=4，可得|x1-x2|=4，不妨设x2<x1，可得x1-x2=4（b），由（a），（b）可得x1=3，x2=-1.而x1*x2=-3=-2/a,a=2/3,故解析式为y=2/3x^2-4/3x-2.
2(1)由1可知A（-1,0），B（3,0），C（0，-2）(m<3)。OA/OC=1/2,BO/OC=3/2,PO/OQ=(3-m)/(2+m).如果三角形POQ与三角形AOC相似，则1/2=(3-m)/(2+m)，得m=4/3,相似成立。如果三角形POQ与三角形BOC相似，则2/3=(3-m)/(2+m)，m=1，相似成立。
（2）需要先计算D点的坐标，直线CB及直线PQ的方程分别为y=2/3x -2和y=（2+m）/（3-m）x-2-m，联合求解得D（（9-3m）/5,（m<3），（-4-m）/5）。三角形PDB和三角形QCD的面积分别是SPDB=（m（4+m））/10,SQCD=(m（9-3m）)/10.则y=（m（4m-5））/10。
由于书写不方便故多加或少加了一些括号，看起来不太方便，请多多原谅。

追问

为什么“不妨设x2<x1”？，x2大于x1啊？

追答

交于两点，必有一大一小。我们需要知道的是|x1-x2|，为了书写方便故设x2<x1，当然不设也没有关系，不过在作差的时候，记得加上绝对值，即|x1-x2|。