Question

如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，割线CE、DF都过点B，并且AB²=BC×BD，∠ABC=∠ABD

求证：（1）AD是⊙O1的切线，AC是⊙O2的切线；（2）CE=DF。

Answer 1

证明：连接AF、AE （1）∵AB2=BC*BD,∠ABC=∠ABD ∴△ABC ∽ △DBA ∴ ∠BAD= ∠ACB=∠ABF 又∵ ∠ADF= ∠ADB ∴△ABD ∽ △FAD ∴∠ABD=∠DAF；AD^2=BD*DF ∴AD是⊙O₁的切线 同理可证：AC是⊙O₂的切线 （2）∵∠ABD=∠DAF，∠ABC=∠ABD ∴∠ABC=∠DAF 又∵ ∠FAC= ∠FBC， ∠ABC= ∠ABF ∠CBF ∠DAF= ∠CAD ∠CAF ∴∠FCA=∠ABF=∠CAD= ∠CFA ∴ AF=AC 又∵∠ACB=∠ABF， ∠AEC= ∠ADF ∴△AFD ≌ △ACE ∴ CE=DF

Answer 2

，可以证得三角形ABC相似于三角形DBA，得角CAB=角ADB，所以角CAB=角A0B的一半，所以角CAB+角BA0=90。