Question

下面是一道概率题，我看着答案怎么也想不通，还望高手赐教啦~~

题干：50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱，每个部件用3个铆钉，若将3个铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率。

有两种解答思路，一个是将装在10个部件上取铆钉的所有方案都列出，另一个是单独考虑其中取出的3个铆钉的安装方法。

有一点我一直疑惑，就是题中解答时究竟是将这些铆钉看做各不相同呢还是都是一样的只有那3个不同？

大体是这样的，希望方便解答的朋友不要只写个答案之类，主要是告诉我你是怎么个考虑法的，其他的不重要~

拜托啦！谢谢！

Answer 1

我的答案是10/C(50,3)，和楼上一样。

铆钉这里肯定是各不相同的，否则的话，比如所有好的铆钉一模一样，所有不好的铆钉各不同，那么基本事件数就是C(3,1) + C(3,2) + C(3,3) + C(3,0)，没有C(47,a)是因为其他好的铆钉都一样，你取a个好的铆钉出来总共只有1种取法，其他取法得到的结果是一样的。排列组合是计算不同的取法，相同的取法不计算，这样一来，答案怎么都不可能是10/C(50,3)。（如果连所有不好的铆钉都长一个样，那么基本事件数就是：取出来发现一个坏的+取出来发现两个坏的+。。。+取出来没坏的 = 4）

下面分析两种思路。对第一种思路，基本事件数就是：
C(50,30)C(30,3)C(27,3)C(24,3)....C(3,3)，
特殊事件数是
C(47,27)C(27,3)C(24,3)...C(3,3)*10
解释一下：每一个式子的第一个组合数都是在选铆钉，选完后进行装配（先摆好10个部件的位置，不要动了），由于铆钉互不相同，所以还必须考虑哪三个铆钉装在第1,2,3,...10个元件上，于是就出现了后面诸多组合数。对于特殊事件，我们必须先从没问题的27个铆钉中3个3个地选，装配好9个元件，这样才能保证最后一个元件总是有问题的，但这只是保证第10号元件是有问题的，还有可能更改装配顺序，使得第1号、2号...9号元件是有问题的，所以最后要乘以10才是特殊事件数。
以上两个式子的比值你可以验证就是10/C(50,3)。

第二种思路：现在我任取一个部件进行考虑，那么基本事件数就是C(50,3)，特殊事件的话，就是C(3,3)，由于这是任取一个部件的事件数，所以乘以10就是所求的特殊事件数，概率还是一样
10/C(50,3)。

第二种思路虽然快但是一般来说如果使用的话可能总是会心里不放心，怕漏算事件个数。我自己也是首先从第一种思路开始计算的，虽然列式子麻烦，但是列起来很快，加上许多项又抵消了，所以我建议你就用第一种思路计算。

追问

很详细啊！你说的我基本懂了，但是关于2思路还有不解：对于特殊事件是考虑它在10个可能的位置，但是在计算基本事件时只是停在“取出”上而没有继续考虑这取出的3个会放在哪个上，C（50,3）似乎不能表示这3个铆钉究竟是何去何从了。那么这个究竟是要考虑还是不要呢？
或许我想2思路这样解释会好些：对于某一部件，它强度不够的可能性为：1/C(50,3)，而这样的部件可能有10中情况，故在概率上乘以10而不是在特殊事件上乘10。 如何?

追答

可以，没问题。我其实就是你这个意思。部件1变坏与部件2变坏它们都是互斥事件，所以乘以10不用担心算重复的。

Answer 2

用事件的独立性做。考虑50只铆钉里面只有正、次之分，但考虑10个部件是互不相同的。
只有3个铆钉是次品，因此最多只会有一个部件强度太弱。
其中一个部件强度弱指的是3个铆钉都取到次品，这个时候剩下的9个部件无论如何都是正品，因此一个部件太弱的概率是：3/50 X 2/49 X 1/48
而十个部件太弱的概率就是上面的概率乘以 10

Answer 3

一楼回答是错误的，我也是做到那道题，企图按一楼那种思路，但看了一楼答案后迷糊了半天，最后终于领悟！擦，敢情他算错了啊。这道题这种思路，就必须基本事件c(50.30)C(30.3)*10C(27.3)*9.....后面依次如我写的顺承，特殊事件同样，C(47.27)*10C(27.3)*9。。。这样才能最后化简出答案c(47.27）除以{C(50,30)*C(30.3)},这样才出课后答案1/1960,1楼特殊事件与基本事件计算全有误，害我迷糊了一下午，坑人啊！拜托1楼点良心点好不。你写完解答也不算算答案对不对就胡说啊。一楼那两式子一比，那10没消掉呢。他妈的，都是些糊涂虫，老子就够笨了，你们比老子还迷糊，硬是没人发现1楼答案有问题，搞的我浪费一个下午，干！半壶水害死人啊！

Answer 4

我觉得应该是将铆钉看成各不相同的吧
一共有C(3,50)*C(3,47)*...*C(3,23)种组合
有部件太弱的共有10*C(3,47)*C(3,44)*...*C(3,23)种组合
概率为1/1960

追问

是不是把三个钉看成整体，然后实际上又转变为了一个不重复的排列问题，十个位置十个物品？这样理解对吗？对于十个位置是否是看作各不相同的呢？

追答

为什么我现在才收到追问...
的确是将三个钉看成整体.
概率不就是中奖次数除以所有次数吗
怎么计算所有次数呢, 将50个钉子编号
C(3,50)表示50个钉子选3个放在1号部件上, C(3,47)表示剩下的47个钉子中选3个放在2号部件上...一直这么乘下去就是所有次数了
那么中奖次数呢? 假如1号部件中奖, 那么2号部件就是剩下的47个钉子中选3个放在2号部件上...这么乘下去; 2号部件中奖也是相同情况, 故需要乘以10

追问

问题已经解决啦，不过还是谢谢你过了这么就还愿意来解答~~百度似乎常有问题，我有几次明明提价了问题都不会在列表里面显示，别人的回答也会莫名其妙消失……