Question

初三数学题，锐角三角函数（ 在线等！！）

如图，△ABC的∠A，∠B的对边的长a，b是关于x的方程式x²+4（c+2）=（c+4）x的两个实数根.DE⊥AC.DE=BD，tanA=3/4.求AE的长

Answer 1

因为a,b是x^2+4（c+2)=(c+4)x 的两个根 即x^2-(c+4)x+4(c+2)的两个根
所以由韦达定理得 a*b=4(c+4) a+b=c+4
所以（a+b)^2=(c+4)^2即a^2+b^2+2ab=c^2+8c+16 又因为ab=4c+8所以代入得a^2+b^2=C^2
符合勾股定理 所以三角形ABC是直角三角形 AC垂直BC
设AE长为x ,因为DE=BD tanA=3/4 所以有 AE=x DE=BD=3/4x a=3/4b
因为a^2+b^2=c^2 a=3/4b 所以有c=2分之根号7 b
由已知即上述步骤可以判断出三角形ABC与三角形ADE相似
所以由c=2分之根号7b 得AD=2分之根号7AE=2分之根号7 x
因为AE^2+DE^2=AD 所以有 x^2+(3/4 x)^2=(2分之根号7 x）^2
解这个方程 x就是AE的长度了

Answer 2

解答：
tanA=3/4=DE/AE，不妨设DE=3m,AE=4m,则有BD=DE=3m,AB=DE+AD=8m
因为a，b是关于x的方程式x²-（c+4）x+4（c+2)=0的两个实数根
所以a+b=c+4,ab=4（c+2)
c^2=a^2+b^2-2abcosC
代入即有0=-8（c+2）cosc
因为c>0,所以cosC=0,又角C在0~180之间，所以角c为90
所以8m=c,m=c/8;
AE=1/2c
你这上面已知边是哪些？有c边吗？这题关键是证角C是直角

Answer 3

tanA=3/4,则 sinA=3/5,cosA=4/5
DE/AE=3/4，DE/AD=3/5
令DE=3a,则AD=5a,AE=4a
DE=BD,则BD=3a,AB=8a
设方程组的两个解为x1,x2，
则x1+x2=c+4
x1*x2=4(c+2)
x1²+x2²=（x1+x2）²-2·x1x2
=c²+8c+16-8c-16
=c²
解得x1/x2=3/4
得<c=90°
a=1/8c
AE=4a=1/2c

Answer 4

x²+4c+8-cx-4x=0
x²-（c+4）x+4c+8=0
x1+x2=c+4
x1x2=4c+8
因为tanA=3/4
所以BC/AC=3/4
所以x1/x2=3/4
所以x2=4/3x1
x1+4/3x1=c+4
x1=（3c+12）/7
4/3x1²=4c+8
4（9c²+72c+144）/147=4c+8
c=10
所以原式=x²+48=14x
解得x1=8 x2=6
所以AC=8 BC=6
设BC为m
易证AB=10，△AED和△ACB相似
所以ED/BC=AD/AB
m/6=10-m/10
m=15/4