Question

高中数学题，求解，急！！

已知圆N：(x+2)^2+y^2=8，抛物线：y^2=2x，圆的切线l与抛物线交于A、B两点 设点M和点N关于直线y=x对称，问是否存在直线l使得向量MA垂直向量MB?若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由
最后一步由(1)(2)得能再详细点吗，我就是算到这里，后面化简不了

Answer 1

假设存在l:y=kx+b,由相切得|-2k+b|/√(1+k^2)=2√2,即：b^2-4kb-4k^2-8=0. (1)
联立直线与抛物线，消元x:ky^2-2y+2b=0.
A(x1,y1),B(x2,y2),y1+y2=2/k,y1y2=2b/k.
N(-2,0),则M(0,-2).
向量MA=(x1,y1+2),MB=(x2,y2+2),由数量积为0,得：x1x2+(y1+2)(y2+2)=0.
而x1x2=(y1^2/2)(y2^2/2),
将y的两根之和之积带入得：b^2+2kb+4k+4k^2=0 (2)
将（1）（2）两式相加得：b^2-bk+2k-4=0,b^2-4=(b-2)k,
b=2或k=b+2,
进b=2,k=-1;k=b+2时无解。
所以存在直线l:y=-x+2(检验判别式大于零)

Answer 2

设直线l为:y=kx+b(显然斜率存在且不为0)
那么N点到直线的距离即为半径: d=|-2k+b|/√(k^2+1)=2√2
4k^2+4bk-b^2+8=0 ..........(1)
联立方程：y=kx+b
y^2=2x
代入得：k^2*x^2+(2kb-2)x+b^2=0
设A(x1,kx1+b) B(x2,kx2+b)
由韦达定理：x1+x2=(2-2kb)/k^2
x1*x2=b^2/k^2
又由题意可得M(0,-2) 且向量MA点乘向量MB为0 即(x1,kx1+b+2)点乘(x2,kx2+b+2)为0
x1x2+(kx1+b+2)(kx2+b+2)=(1+k^2)x1x2+(kb+2k)(x1+x2)+b^2+4b+4=0
化简得：b^2+2bk+4k+4=0........(2)
由(1)(2)得，k=-1 b=2
综上,存在直线为 y=-x+2

Answer 3

存在，直线l的斜率为-1，且与圆相切。

Answer 4

确定是关于y=x对称？