Question

已知函数f(x)=㏑X-a（X-1），a∈R 1）讨论函数f(x)的单调性 2）当X≥1时，f(x)≤（㏑X）/(X+1)恒成立，求a

已知函数f(x)=㏑X-a（X-1），a∈R
1）讨论函数f(x)的单调性
2）当X≥1时，f(x)≤（㏑X）/(X+1)恒成立，求a的取值范围

Answer 1

（1）先利用参数分离法将a分离出来，然后研究函数的最值，使参数a恒小于函数的最小值即可；
（2）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，主要进行分离讨论．
解答：解：（1）由f（x）≤x2恒成立，得：alnx≤x在x≥1时恒成立
当x=1时a∈R（2分）
当x＞1时即a≤xlnx，令g(x)=xlnx，gʹ(x)=lnx-1ln2x（4分）
x≥e时g'（x）≥0，g（x）在x＞e时为增函数，g（x）在x＜e时为减函数
∴gmin（x）=e∴a≤e（6分）
（2）解：f（x）=x2-x+alnx，f′（x）=2x-1+ax=2x2-x+ax，x＞0
（1）当△=1-8a≤0，a≥18时，f′（x）≥0恒成立，
f（x）在（0，+∞）上为增函数．（8分）
（2）当a＜18时
①当0＜a＜18时，1+1-8a4＞1-1-8a4＞0，
f（x）在[1-1-8a4，1+1-8a4]上为减函数，
f（x）在(0，1-1-8a4]，[1+1-8a4，+∞)上为增函数．（11分）
②当a=0时，f（x）在（0，1]上为减函数，f（x）在[1，+∞）上为增函数（12分）
③当a＜0时，1-1-8a4＜0，故f（x）在（0，1+1-8a4]上为减函数，
f（x）在[1+1-8a4，+∞）上为增函数．（14分）

追问

你答的和我问的不是一个题吧

追答

可能粘错了

Answer 2

1）f'(x)=1/x - a
当a=0时，函数在x<0时递减，x>0时递增
否则，令f'(x)>0,有x<1/a,令f'(x)<0,有x>1/a. 所以x<1/a时函数递增，x>1/a时函数递减
2）当x=1时，f(x)=0,于是a属于R；
当x>1时，x-1>0,整理㏑X-a(X-1)≤（㏑X）/(X+1) 得到a>=xlnx/(x^2-1)