a、b、c为实数，且a+b+c=1，求证√a+√b+√c≦√3 30
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[[注:缺少条件,就是a, b, c均为非负实数. ]]
证明:
由题设及柯西不等式可得:
3
=3×1
=(1²+1²+1²)×[(√a)²+(√b)²+(√c)²]≥[√a+√b+√c]²
即恒有: (√a+√b+√c)²≤3.
等号仅当a=b=c=1/3时取得.
∴两边开平方,可得
√a+√b+√c≤√3
证明:
由题设及柯西不等式可得:
3
=3×1
=(1²+1²+1²)×[(√a)²+(√b)²+(√c)²]≥[√a+√b+√c]²
即恒有: (√a+√b+√c)²≤3.
等号仅当a=b=c=1/3时取得.
∴两边开平方,可得
√a+√b+√c≤√3
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应该为正实数吧？不然就无法开方了。
由均值不等式 2ab<=a^2+b^2 得
左边=√3*(√a/√3+√b/√3+√c/√c)
<=√3*[(a+1/3)+(b+1/3)+(c+1/3)]/2
=√3 。
由均值不等式 2ab<=a^2+b^2 得
左边=√3*(√a/√3+√b/√3+√c/√c)
<=√3*[(a+1/3)+(b+1/3)+(c+1/3)]/2
=√3 。
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a+b>=2√ab
b+c>=2√bc
a+c>=2√ac
三式相加2√ab+2√bc+2√ac<=2
则a+b+c+2√ab+2√bc+2√ac<=3
即（√a+√b+√c）²<=3
√a+√b+√c≦√3
b+c>=2√bc
a+c>=2√ac
三式相加2√ab+2√bc+2√ac<=2
则a+b+c+2√ab+2√bc+2√ac<=3
即（√a+√b+√c）²<=3
√a+√b+√c≦√3
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