Question

高中数学 导数 高手入 在线等···

已知函数f(x)=x+a/x(a∈R），g（x）=lnx．
若关于x的方程g(x)/x^2=f(x)-2e（e为自然对数的底数）只有一个实数根，求a的值
（答案截图在图片里，我不明白1.为什么最大值等于最小值的时候只有一个根？2.为什么要左右两边乘X，那不会改变方程吗，方程是等于g/X^2,又不是等于g/X）

Answer 1

(1-lnx)/x^2=x^2-2ex+a。
可令：t(x)=x^2-2ex+a。这可以看作是两个函数h(x)和t(x)在x取某一个值时的函数值相等。
题目中以得出结论，当x=e时，h(x)取得的是最大值，而t(x)取得的是最小值。所以：如果这两个函数分别的最大值比最小值小的话，就是代表方程无解了；大于最小值，就说明可能还存不等于e的x值使得这两个函数还有函数值相等的地方，即实数根不唯一；等于最小值的话，就说明只有当x=e时才会使得h(x)=t(x)。
一种解题思想：方程两边可以看做两个不同的函数，在x取某个值时使得这两个函数值相等。
例如：上半圆f(x)=√(4-x^2)，与直线g(x)=kx+1有无交点及其交点个数，其实就是判断f(x)=g(x)这个方程实数解的个数。（此题可利用数形结合解，也可直接化简成一元二次方程形式根据判别式去解。）

Answer 2

因为在x=e的时候极大值等于最大值 所以只有一个根

Answer 3

不会改变方程

追问

即使x是大于0的为什么就不会改变方程呢

追答

方程两边同时乘以非零数相等，再考虑x=0时的情形就行了，实际上一般不用考虑