Question

怎样用坐标法证明：连接圆中弦的中点和圆心的直线垂直于这条弦？

Answer 1

设圆方程为：x^2+y^2=R^2,
AB是圆内一弦，M为AB的中点，
设A（x1,y1),B(x2,y2),M（x0,y0),
根据中点公式，x0=(x1+x2)/2,y0=(y1+y2)/2,
弦心距OM方程的斜率k1=[(y1+y2)/2]/[(x1+x2)/2]=(y1+y2)/(x1+x2),(1)
弦AB斜率k2=(y2-y1)/(X2-X1),(2)
∵A、B均在圆上，
∴x1^2+y1^2=R^2,(3)
x2^2+y2^2=R^2,(4)
(3)-(4)式，
x1^2-x2^2=y2^2-y1^2),(5)
(1)*(2)式，k1*k2=(y2^2-y1^2)/(x2^2-x1^2),(6)
由（5）式代入（6）式，得：
k1*k2=-1,
若二直线斜率互为负倒数，则它们互相垂直，
∴AB⊥OM，
即连接圆中弦的中点和圆心的直线垂直于这条弦。