Question

刚体转动惯量的微积分推导过程

Answer 1

　　例如圆筒转动惯量微积分推导公式过程：
　　J=∫r^2ρdv
=∫r^2ρdr*H*r*2pai
=ρ*H*2pai∫r^3dr
=ρ*H*2pai/4r^4(r2-→r1)
=[ρ*H*2pai]/4(r1^2-r2^2)(r1^2+r2^2)
=m/2(r1^2+r2^2)
　　转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。在经典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩，简称惯距）通常以I或J表示，SI单位为kg·m²。对于一个质点，I=mr²，其中m是其质量，r是质点和转轴的垂直距离。转动惯量在旋转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量，可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性，用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。

Answer 2

取刚体的任意一个很小的块，其体积是dxdydz,其质量为 ρdxdydz,距离轴的距离是r(x,y,z)，则它的转动惯量是
[r(x,y,z)]^2 ρdxdydz
对这个式子进行三重积分，就是刚体自己的转动惯量