Question

(1/2)已知直线x-2y+2=0经过椭圆C:X2/a2+y2/b2=1的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S为椭圆C上位...

(1/2)已知直线x-2y+2=0经过椭圆C:X2/a2+y2/b2=1的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S为椭圆C上位于x轴上方的动

Answer 1

解：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（-2，0），
上顶点为D（0，1），∴a=2，b=1
故椭圆C的方程为x24y21（4分）
（2）依题意，直线AS的斜率k存在，且k＞0，故可设直线AS的方程为y=k（x+2），从而M10316k3，由 ykx2 x24y21 得（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0
设S（x1，y1），则2x116k2414k2得x128k214k2，从而y14k14k2
即S28k214k24k14k2，（6分）
又B（2，0）由 y14kx2 x103 得 x103 y13k ，
∴N10313k，（8分）
故MN16k313k
又k＞0，∴MN16k313k216k313k83当且仅当16k313k，即k14时等号成立．
∴k14时，线段MN的长度取最小值83（10分）

（2）另解：设S（xs，yS），M103yM依题意，A，S，M三点共线，且所在直线斜率存在，
由kAM=kAS，可得yM163ysxs2同理可得：yN43ysxs2又xs24ys21
所以，yMyN649ys2xs24=64914169不仿设yM＞0，yN＜0MNyMyNyMyN2yMyN83当且仅当yM=-yN时取等号，
即yM43时，线段MN的长度取最小值83．

（3）由（2）可知，当MN取最小值时，k14
此时BS的方程为xy20s6545，∴BS425（11分）
要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于15，只须T到直线BS的距离等于24，
所以T在平行于BS且与BS距离等于24的直线l'上．
设直线l'：x+y+t=0，则由t2224，解得t32或t52．
又因为T为直线l'与椭圆C的交点，所以经检验得t32，此时点T有两个满足条件．（14分）