Question

已知BC为半圆的直径，O为圆心，D是弧AC的中点，四边形ABCD对角线AC，BD交于点E，且BC=5／2，CD=√5／2

求弦AB的长

Answer 1

如图，由已知BC为半圆的直径，D是弧AC的中点

得∠BDC=90°，∠ABD=∠DBC=α，AD=DC=√5／2

∠BAC=90°

∴在Rt△BDC中

sinα=DC/BC=(√5／2)/(5／2)=(√5)/5

在Rt△BAC中

cos(2α）=AB/BC

AB=BC*cos(2α）=BC*(1-2(sinα)²)

AB=5/2(1-2((√5)/5)²)=5/2(1-10/25)=3/2=1.5

Answer 2

∵〈BDC=90°，（半圆上圆周角是直角），
∴根据勾股定理，BD=√（BC^2-CD^2)=√5，
∵D是AC弧中点，
∴AD=CD=√5/2，
∴〈DBC=〈ABD，
∵〈DAC=〈DBC，（同弧圆周角相等），
∴〈DAE=〈DBC=〈ABD，
∵〈ADE=〈BDA，（公用角），
∴△ADE∽BDA，
∴AD/BD=DE/AD，
AD^2=BD*DE,
DE=(√5/2）^2/√5=√5/4，
BE=BD-DE=3√5/4，
根据勾股定理，
CE^2=DE^2+CD^2,
CE=5/4,
∵〈ABD=〈ACD，（同弧圆周角相等），
〈AEB=〈DEC，（对顶角相等），
∴△ABE∽△DCE，
CE/BE=CD/AB,
（5/4）/（3√5/4）=（√5/2）/AB，
∴AB=3/2。

Answer 3

解：（1）∵BC为半圆的直径，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∵∠ABD=∠CBD，
∴△ABE∽△DBC；

（2）∵△ABE∽△DBC，
∴∠AEB=∠DCB，
∵∠BDC=90°，BC=5，CD=5，
∴BD²=BC²-CD²=根号5

∴sin∠AEB=sin∠DCB=BD/BC=（根号5）/5

（3）∵D为AC的中点，
∴∠ADB=∠CBD，
∵∠ADB=∠ACD，
∴∠DCE=∠DBC，
∵∠CDE=∠DCB，
∴△DCE∽△DBC，
∴DC/DB=DE/DC

∴DE=DC²/DB=根号5/2
BE=（3根号5）/2

∴AB=BE•sin∠AEB=（3根号5）/4 •（2根号5）/5=1.5