Question

试说明下列等式成立 (1/a+b +1/b-c +1/c-a)的平方=（a-b）的平方/1+（b-c)的平方/1+ （c-a)的平方/1

还有一个 （b-c)/(a-b)(a-c) + (c-a)/(b-c)(b-a) + (a-b)/(c-a)(c-b)=2/a-b + 2/b-c + 2/c-a

Answer 1

第一个等式：
题目错了，应该是 (1/a-b +1/b-c +1/c-a)²=1/(a-b)²+1/(b-c)²+1/(c-a)²
那么只需证明 (1/a-b +1/b-c +1/c-a)²-1/(a-b)²-1/(b-c)²- 1/(c-a)²=0
由于(1/a-b +1/b-c +1/c-a)²=1/(a-b)²+1/(b-c)²+ 1/(c-a)²+2/(a-b)(b-c)+2/(b-c)(c-a)+2/(a-b)(c-a)
所以(1/a-b +1/b-c +1/c-a)²-1/(a-b)²-1/(b-c)²- 1/(c-a)²=2/(a-b)(b-c)+2/(b-c)(c-a)+2/(a-b)(c-a)
而1/(a-b)(b-c)+1/(b-c)(c-a)+1/(a-b)(c-a)=[(c-a)+(a-b)+(b-c)]/(a-b)(c-a)(b-c)=0
所以(1/a-b +1/b-c +1/c-a)²=1/(a-b)²+1/(b-c)²+1/(c-a)²。
第二个等式：
2/(a-b)+ 2/(b-c)+ 2/(c-a)=[1/(a-b)+ 1/(c-a)]+[1/(b-c)+ 1/(a-b)]+[1/(c-a)+ 1/(b-c)]
=(c-b)/(a-b)(c-a)+(a-c)/(b-c)(a-b)+(b-a)/(c-a)(b-c)
=(b-c)/(a-b)(a-c)+(c-a)/(b-c)(b-a)+(a-b)/(c-a)(c-b)
如果有看不懂，就追问，不要急着给满意。