Question

根号下(tan²a-sin²a)=tana*sina,求a的取值范围

Answer 1

tana存在的条件是a≠(k+1/2)π，k为整数
根据算术平方根的性质，首先有tan²a-sin²a≥0，tana*sina≥0
由于tana=sina/cosa，且-1≤cosa≤1，即cos²a≤1
所以tan²a=sin²a/cos²a ≥ sin²a，故该不等式对a≠(k+1/2)π均成立
tana*sina=sin²a / cosa ≥0，则cosa>0，所以a∈(2kπ-π/2, 2kπ+π/2)

根号下(tan²a-sin²a)=tana*sina，两边平方，有tan²a-sin²a=tan²a * sin²a
即sin²a/cos²a-sin²a=sin²a/cos²a * sin²a
sina=0，或1/cos²a -1=sin²a/cos²a=(1-cos²a)/cos²a，整理得1-cos²a=1-cos²a，恒等，
所以对a∈(2kπ-π/2, 2kπ+π/2)等式成立

Answer 2

解：
∵tana=(sina)/cosa
∴sina=cosatana
再结合sin²a+cos²a=1可得：
tan²a-sin²a
=tan²a-tan²acos²a
=tan²a(1-cos²a)
=tan²asin²a
即有：tan²a-sin²a=(tanasina)²
∴√(tan²a-sin²a)=|tanasina|
结合题设可得：
|tanasina|=tanasina.
∴tanasina≥0
∴角a是第一，四象限角，包括a=0。
∴2kπ-(π/2)＜a＜2kπ+(π/2), k∈ Z

Answer 3

tan^2(a)-sin^2(a)=sin^2(a)*[sec^2(a)-1]=tan^2(a)*sin^2(a)
=(tanasina)^2
==> 根号下tan^2(a)-sin^2(a)=|tana*sina|
由|tana*sina|=tana*sina，知tana与sina同号，
所以2kπ-π/2<a<2kπ+π/2（k为整数）