Question

高中数学解三角形

1.已知三角形ABC中 BC等于x AC等于2 角B等于45度
若三角形有两解，则x取值？
2.三角形ABC中 A等于60度 BC等于3 求三角形ABC周长
3.若钝角三角形三内角度数成等差数列，且最大边比最小边等于m，m取值？
4.三角形三内角A、B、C对边分别为a、b、c、已知A-C等于90度 a+b等于根2乘b 求C？
5.在三角形ABC中 b等于2a B等于A+60度 求A等于？

Answer 1

1.已知三角形ABC中 BC等于x AC等于2 角B等于45度； 若三角形有两解，则x取值？
解：我们用数形结合的办法解决这一问题。
作45°的∠PBQ，最好把BP画成水平线。在BQ上取一点A₁，使BA₁=2，以A₁为圆心，2为
半径画弧，此弧与BP有两个交点B和C₁，只有A₁BC₁能钩成一个等腰直角三角形，此时BC₁=2√2这是x的最大值；再在BQ上取A₂，使BA₂=2√2，再以A₂为圆心，2为半径作弧，
此弧与BP相切于C₂，△A₂BC₂也是等腰直角三角形，BC₂=2是x的最小值。故2<x<2√2
是使△ABC 有两解的x的取值范围。
2.三角形ABC中 A等于60度 BC等于3 求三角形ABC周长
解：3/sin60°=3/(√3/2)=6/√3=2√3=2R，故外接圆半径R=√3。
故△ABC的周长L=3+2R[sinA+sin(120°-A)]=3+2(√3)[sinA+(√3/2)cosA+(1/2)sinA]
=3+3(√3)sinA+3cosA=3+6[(√3/2)sinA+(1/2)cosA]=3+6[sinAcos(π/6)+cosAsin(π/6)]
=3+6sin(A+π/6)，由于0<A<2π/3，故1/2<sin(A+π/6)<1，于是得6<L<9.
3.若钝角三角形三内角度数成等差数列，且最大边比最小边等于m，m取值？
解：设B=A+d，C=A+2d，于是A+B+C=3A+3d=180°，故B=A+d=60°=(A+C)/2，∴A+C=120°；
c最大，a最小；m=c/a=sinC/sinA=sin(120°-A)/sinA=(sin120°cosA-cos120°sinA)/sinA
=(√3/2)cotA+(1/2)=(1/2)[(√3)/tanA+1]；由于0°<A<60°，故0<tanA<√3；故1≦m<+∞.
4.三角形三内角A、B、C对边分别为a、b、c、已知A-C=90°， a+b=(√2)b ，求C=？
解：∵a+b=(√2)b，∴有sinA+sinB=(√2)sinB，即有sinB=sinA/(√2-1)=(√2+1)sinA......(1)
又A-C=90°，故C=A-90°，于是B=180°-(A+C)=180°-(A+A-90°)=270°-2A；
故sinB=sin(270°-2A)=-cos2A=-(1-2sin²A)=2sin²A-1..........(2)
由(1)(2)得2sin²A-1=(√2+1)sinA；即有2sin²A-(√2+1)sinA-1=0，
∴sinA={√2+1±√[(√2+1)²+8]}/4=[√2+1±√(11+2√2)]/4=[√2+1±√(3+√2)²]/4=[√2+1±(3+√2)]/4
=-1/2或1+√2/2(舍去)，sinA=-1/2....???原题可能有错！
5.在三角形ABC中 b=2a ，B=A+60°， 求A等于？
解：由b=2a，得sinB=2sinA，将B=A+60°代入得sin(A+60°)=2sinA，展开得：
(1/2)sinA+(√3/2)cosA=2sinA，(√3/2)cosA=(3/2)sinA，故得tanA=√3/3，∴A=30°。

Answer 2

第五题：是一个直角三角形，A=30，C=60，