Question

数列{an}中,前n项和Sn=2的n次方-1,求证:{an}是等比数列

Answer 1

Sn=2^n-1
所以S(n-1)=2^(n-1)-1
an=Sn-S(n-1)=2^n-1-2^(n-1)+1
=2*2^(n-1)-2^(n-1)
=(2-1)*2^(n-1)
=2^(n-1)
所以an=2^(n-1)
an/a(n-1)=2^(n-1)/2^(n-2)
=2
即这个数列的后一项比前一项的值为2
所以数列an为等比数列，等比系数为2

Answer 2

证明：因为sn=2^n-1，
所以s(n-1)=2^(n-1)-1
则an=sn-s(n-1)=2^n-1-2^(n-1)+1

=2^n-2^(n-1)

=(2-1)×2^(n-1)

=2^(n-1)，
所以an/a(n-1)=2^(n-1)/2^(n-2)=1/2^(-1)=2,
所以数列an是等比系数为2的等比数列。

Answer 3

an=Sn-Sn-1=（2的n次方-1）-（2的n-1次方-1）=2的n-1次方 （n大于1）
a1=1
显然是一个公比为2，首项为1的等比数列