Question

如图，抛物线与X轴交于A(X1,0)、B(x2,0)两点，且x1＜x2，与y轴交于点c（0，-4），

11、如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2，与y轴交于点C（0，-4），其中x1，x2是方程x2-4x-12=0的两个根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；
（3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由

Answer 1

解：
(1)
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c (a≠0)
x²-4x-12=0
(x-6)(x+2)=0
x1=-2 x2=6
x=-2 y=0 x=6 y=0 x=0 y=-4分别代入抛物线方程：
4a-2b+c=0
36a+6b+c=0
c=-4
解得a=1/3 b=-4/3 c=-4
抛物线解析式为y=x²/3 -4x/3 -4
(2)
设点M坐标(m，0) (-2≤m≤6)
MN∥BC，直线MN斜率=[0-(-4)]/(6-0)=2/3
直线MN方程：y-0=(2/3)(x-m)，整理，得y=(2/3)(x-m)
直线AC方程：y-0=[(0+4)/(-2-0)](x+2)，整理，得y=-2x-4
y=(2/3)(x-m)代入y=-2x-4
(2/3)(x-m)=-2x-4
解得x=(m-6)/4 y=-2x-4=-2(m-6)/4 -4=-(m+2)/2
点N坐标((m-6)/4，-(m+2)/2)
S△CMN=S△AMC-S△AMN
=|AM|·|-4|/2-|AM|·|-(m+2)/2|/2
=2|m+2|-|m+2|²/4
=(-1/4)(|m+2|-4)²+4
-2≤m≤6 0≤|m+2|≤8
当|m+2|=4时，即m=2时，S△CMN有最大值4，此时M点坐标(2，0)
(3)
x=4代入抛物线方程：y=16/3 -16/3 -4=-4，点D坐标D(4，-4)
设点E坐标(e，e²/3 -4e/3 -4)，点F坐标(f，0)
令AE∥DF EF∥AD，直线AE和直线DF、直线EF和直线AD斜率分别相等。
A(-2，0) D（4，-4)
[(e²/3 -4e/3 -4-0)/(e+2)]=(0+4)/(f-4) (1)
[(e²/3 -4e/3-4-0)]/(e-f)=(0+4)/(-2-4) (2)
(1)/(2)
(e-f)/(e+2)=-6/(f-4)
解得f=e+6
代入(1)，整理，得
e²-4e-24=0
(e-2)²=28 e=2+4√7或e=2-4√7
f=e+6 f=8+2√7或f=8-2√7
即在x轴上存在满足题意的点F，坐标为F(8+4√7，0)或F(8-4√7，0)

Answer 2

解：
(1)
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c (a≠0)
x²-4x-12=0
(x-6)(x+2)=0
x1=-2 x2=6
x=-2 y=0 x=6 y=0 x=0 y=-4分别代入抛物线方程：
4a-2b+c=0
36a+6b+c=0
c=-4
解得a=1/3 b=-4/3 c=-4
抛物线解析式为y=x²/3 -4x/3 -4
(2)
设点M坐标(m，0) (-2≤m≤6)
MN∥BC，直线MN斜率=[0-(-4)]/(6-0)=2/3
直线MN方程：y-0=(2/3)(x-m)，整理，得y=(2/3)(x-m)
直线AC方程：y-0=[(0+4)/(-2-0)](x+2)，整理，得y=-2x-4
y=(2/3)(x-m)代入y=-2x-4
(2/3)(x-m)=-2x-4
解得x=(m-6)/4 y=-2x-4=-2(m-6)/4 -4=-(m+2)/2
点N坐标((m-6)/4，-(m+2)/2)
S△CMN=S△AMC-S△AMN
=|AM|·|-4|/2-|AM|·|-(m+2)/2|/2
=2|m+2|-|m+2|²/4
=(-1/4)(|m+2|-4)²+4
-2≤m≤6 0≤|m+2|≤8
当|m+2|=4时，即m=2时，S△CMN有最大值4，此时M点坐标(2，0)
(3)
x=4代入抛物线方程：y=16/3 -16/3 -4=-4，点D坐标D(4，-4)
设点E坐标(e，e²/3 -4e/3 -4)，点F坐标(f，0)
令AE∥DF EF∥AD，直线AE和直线DF、直线EF和直线AD斜率分别相等。
A(-2，0) D（4，-4)
[(e²/3 -4e/3 -4-0)/(e+2)]=(0+4)/(f-4) (1)
[(e²/3 -4e/3-4-0)]/(e-f)=(0+4)/(-2-4) (2)
(1)/(2)
(e-f)/(e+2)=-6/(f-4)
解得f=e+6
代入(1)，整理，得
e²-4e-24=0
(e-2)²=28 e=2+4√7或e=2-4√7
f=e+6 f=8+4√7或f=8-4√7
即在x轴上存在满足题意的点F，坐标为F(8+4√7，0)或F(8-4√7，0)