Question

高等数学极限证明题

Answer 1

说明：以下解答中，U_1,U_2,…,U_(N+1)，U_n等符号中的1,2,…,N+1,n是U的下标

∵ lim U_n = A
∴ 任给ε>0, 对ε/2>0, 存在N, 当n>N 时，
|U_n-A| < ε/2

|(U_1+U_2+…+U_n)/n-A|
＝|[U_1+U_2+…+U_N+U_(N+1)+…+U_n]/n-A|
＝|[U_1+U_2+…+U_N-NA]/n+[U_(N+1)-A+U_(N+2)-A+…+U_n-A]/n|
＝|[U_1+U_2+…+U_N-NA]/n+[U_(N+1)-A+U_(N+2)-A+…+U_n-A]/n|
＜|U_1+U_2+…+U_N-NA|/n+[|U_(N+1)-A|+|U_(N+2)-A|+…+|U_n-A|]/n
≤|U_1+U_2+…+U_N-NA|/n+(n-N)ε/(2n)
≤|U_1+U_2+…+U_N-NA|/n+ε/2

取 N_1=[2|U_1+U_2+…+U_N-NA|/ε]+1, 则 n>N_1时
|(U_1+U_2+…+U_n)/n-A|
＜|U_1+U_2+…+U_N-NA|/n+ε/2
≤ε/2+ε/2
＝ε

∴ lim (U_1+U_2+…+U_n)/n = A

Answer 2

由定理(在自变量的同一变化过程x->x0或x->无穷中,函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)=A+&,&为无穷小) =>Un=A+& 则S=U1+U2+**+Un=nA+(a1+a2+**+an) 那么很明显 lim(S/n)=A+lim(一个无穷小)/n=A+0=A

Answer 3

Un=A+a (a为相应的无穷小）
s=U1+U2+....+Un=nA+(a1+a2+...+an)
Lims/n=A+lim(a1+a2+。。。+an)/n=A+0=A

Answer 4

同意Ｉじ★νＥＵ，其实在同济高数第四版有这个题目的详细证明。（实在是不怎么会打出证明过程）