Question

已知直线y=ax+1与双曲线3x^2-y^2=1相交于A,B两点

已知直线y=ax+1与双曲线3x^2-y^2=1相交于A,B两点。
求a的取值范围

Answer 1

已知直线y=ax+1与双曲线3x^2-y^2=1交于A,B两点
(1)求a的取值范围
(2)若以AB为直径的圆过坐标原点,求实数a的值
(3)若S△OAB=2,求a的值
(4)是否存在这样的实数a,使A,B两点关于直线y=x/2对称?若存在,请求出a的值,若不存在,说明理由.

将y=ax+1代入3x^2-y^2=1，得：(3-a^2)x^2 -2ax -2 =0
1. 交于A,B两点 ==> 判别式 =(2a)^2 -4*(3-a^2)(-2)> 0
==> -根号6 < a < 根号6
2. 以AB为直径的圆过坐标原点
OA垂直OB, (y1/x1)(y2/x2) = -1, x1x2+y1y2=0
x1x2+(a*x1 +1)(a*x2 +1) =0
(1+a^2)x1x2 +a(x1+x2)+1 =0 ...(1)
x1x2 =-2/(3-a^2), x1+x2 =2a/(3-a^2)代入(1), 得:
a = 1,-1
3. 2 = S△OAB =AB*d/2, d =1/根号(1+a^2) = 点O到直线AB距离
AB = |x1-x2|*根号(1+a^2)
==> |x1-x2| =4, (x1+x2)^2 -4x1x2 =16 ...(2)
x1x2 =-2/(3-a^2), x1+x2 =2a/(3-a^2)代入(2), 解得:
a = 根号2, -根号2, (根号15)/2, -(根号15)/2
4. A,B两点关于直线y=x/2对称
A,B的中点在直线y=x/2上:
(y1+y2)/2 =[(x1+x1)/2]/2, a(x1+x2)+2 =(x1+x2)/2
x1+x2 =2a/(3-a^2)代入, 解得: a=6 > -根号6
因此，不存在实数a, A,B两点关于直线y=x/2对称

Answer 2

把y=ax 1代入3x^2-y^2=1得到
3x^2-(ax 1)^2=1
--->(3-a)x^2-2ax-2=0
--->x1 x2=2a/(3-a); x1x2=-2/(3-a)
y1=ax1 1;y2=ax2 1
--->y1y2=(ax1 1)(ax2 1)=a^2*x1x2 a(x1 x2) 1
=2a/(3-a)-2a/(3-a) 1=1

以AB为直径的圆经过原点O--->OA⊥OB
--->y1/x1*y2/x2=-1
--->x1x2 y1y2=0
--->2a/(3-a) 1=0
--->a 3=0
--->a=-3
所以a=-3时,以AB为直径的圆经过原点.