Question

急求！！已知函数f(x)=1/3x3-a2x+1/2a(a∈R)(Ⅱ)若对任意x∈(0,+∞)，有f(x)＞0恒成立，求a的取值范围

急求！！已知函数f(x)=1/3x³-a²x+1/2a(a∈R)(Ⅱ)若对任意x∈(0,+∞)，有f(x)＞0恒成立，求a的取值范围
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Answer 1

先分析原函数端点值 f(0)=1/2a>=0 可知a>=0
对该函数进行求导 f'(x)=x^2-a^2
①当a≠0时
显然 在x∈（0，+∞）内 x=a 是f'(x)=0的一个根
并且该函数在该根左边函数值小于0 右边函数值大于0 （即原函数先减后增）
则对应原函数在x=a时有极小值

∴f(a)=1/3a^3-a^3+1/2a>0即可 解得 0<a<√3/2
②当a=0时 f'(x)恒大于0 x∈（0，+∞）则f(x)在该区间内单调递增 又f(0)=0 ∴满足条件

综上所述 0=<a<√3/2