Question

三道数学分析题

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Answer 1

我讲一下第一题吧, 另两题其实也没啥好讲的
记通项为a_n,
1. 利用(1+n)^{1/2}>1得a_n>a_{n-1}
2. 利用(1+n)^{1/2}<1+n得a_n<3
这一步得自己动手算一下
3. 把3写成一堆根号的形式, 然后考察3-a_n
利用a>b>0时a^{1/2}-b^{1/2}<(a-b)/(2b^{1/2})可以褪掉分子上的根号
对于3-a_n反复褪根号可得
3-a_n < (n-1)[(n+1)-(n+1)^{1/2}] / ......
注意分母上每次出现一个型如(2b^{1/2})的量, 这个量至少是2, 所以褪n-2重根号就至少得到2^{n-2}
所以3-a_n<(n-1)[(n+1)-(n+1)^{1/2}]/2^{n-2} < n^2/2^{n-2}
再用夹逼性质就得到3-a_n->0

追问

3怎么写出一堆根号？我算不出通项小于3

追答

把a_n最里层的(1+n)^{1/2}换成1+n

另外, 如果你连第二题的Taylor展开都不会, 那么第一题也没必要做了, 先找本教材好好学一遍再说

Answer 2

1. 利用(1+n)^{1/2}>1得a_n>a_{n-1}
2. 利用(1+n)^{1/2}<1+n得a_n<3
这一步得自己动手算一下
3. 把3写成一堆根号的形式, 然后考察3-a_n
利用a>b>0时a^{1/2}-b^{1/2}<(a-b)/(2b^{1/2})可以褪掉分子上的根号
对于3-a_n反复褪根号可得
3-a_n < (n-1)[(n+1)-(n+1)^{1/2}] / ......
注意分母上每次出现一个型如(2b^{1/2})的量, 这个量至少是2, 所以褪n-2重根号就至少得到2^{n-2}
所以3-a_n<(n-1)[(n+1)-(n+1)^{1/2}]/2^{n-2} < n^2/2^{n-2}
再用夹逼性质就得到3-a_n->0
追问

Answer 3

第一题完全没思路。
第二题有公式，泰勒展开
第三题也是高数课本的原题，SnRn=1的条件是a1=a2=a3.。。。。=an

追问

怎么泰勒展开啊？

Answer 4

讨论下第一题：网上收集的资料，英文的，应该能看懂吧，就不翻译了。

第一题其实是Ramanujan定理[1] 的一个特殊性形式:

首先证序列本身收敛[2]：(令x=2, n=n-2就是第一题)

这个特殊形式是由Alexander Abian 跟 Sergei Sverchkov 在1993年证明的。截取一部分证明：

附链接, 希望都能打开:

[1] http://zariski.files.wordpress.com/2010/05/sr_nroots.pdf

[2] http://math.stackexchange.com/questions/165671/convergence-of-the-sequence-sqrt12-sqrt1-sqrt12-sqrt13-sqrt1-sq/165693