Question

已知向量a=(cosa,sina),向量b=(cosβ,sinβ),|向量a+向量b|=根号下(2+根号2)

1)求向量a,b的夹角
2)若pi/2＜α＜pi,-pi/2＜β＜0,sinβ=-3/5,求cos2α

Answer 1

解:1) 向量a+向量b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ).
|向量+向量b|=√[(cosα+cosβ)^2+(sinα+sinβ)2]=√(2+√2).
化简,整理,得: cos(α-β)=√2/2.
|向量a|=1, |向量b|=1.
向量a.向量b=cosαcosβ+sinαsinβ.
=cos(α-β)(=√2/2).
cos＜a,b＞=a.b/|a||b|.
=√2/2.
∴＜a,b＞=45°---所求向量a,b的夹角.
2) ∵sinβ=-3/5,∴cosβ=4/5. (-π/2＜β＜0, cosβ＞0)
由(1)得: cos(α-β)=√2/2.
∴α-β=45°.
α=45°+β.
cosα=cos(45°+β).
cosα=cos45°cosβ-sin45° sinβ.
=(√2/2)[(4/5)-(-3/5)].
=7√2/10.
cos2α=2cos^2α-1.
=2*(7√2/10)^2-1.
=2*(98/100)-1.
=2*49/50-1.
=(49-25)/25..
∴cos2α=24/25.

追问

但是π/2 ＜α-β＜3π/2啊

追答

由|向量a+向量b|=cos(α-β)=√2/2＞0,. 则-π/2＜α-β＜π/2., 不应该是π/2＜α-β＜3π/2.

这样, cos(α-β)=√2/2, 则α-β=π/4,或α-β=-π/4.
若α-β=-π/4, 则α=β-π/4.
cosα=cosβcosπ/4+sinβsinπ/4.
=(√2/2)*[(4/5)+(-3/5)].
=(√2/2)*(1/5).
∴cosα=√2/10.
cos2α=2cos^2α-1.
=2(√2/10)^2-1.
=1/25-1.
∴cos2α=-24/25.
∴cos2α=24/25, 或cos2α=-24/25.

Answer 2

Answer 3

1）：（a+b）＾2=2+√2
a＾2+b＾2+2ab=2+√2
∵a＾2=b＾2=1
∴ab=√2/2∴ab夹角为45度
2):好吧，我不会