Question

求双曲线的离心率

双曲线的过焦点且垂直于实轴的弦与另一焦点组成等腰直角三角形

Answer 1

解：如图所示  设双曲线方程为x²／a－y²／b＝1

∵△AF1B为等腰直角三角形

∴易知道△AF1F2也为等腰直角三角形

∵F1F2＝2c

∴AF2＝2c

又由双曲线定义知AF1－AF2＝2a

∴AF1＝AF2＋2a＝2c＋2a

∴由勾股定理得

AF1²＝F1F2²＋AF2² 

即

﹙2c＋2a﹚²＝﹙2c﹚²＋﹙2c﹚²

化简合并：

c²－2ac－a²＝0

两边同除a得

﹙c／a﹚²－2c／a－1＝0

即e²－2e－1＝0

解方程得

   e=1＋√2  或e＝1－√2﹙舍﹚

∴离心率为e=1＋√2

Answer 2

分析：
设双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，把 x=-c 代入 双曲线的方程得到y=±b^2/a，由题意可得
2c=b^2/a，即2ac=c^2-a^2，解方程求得 e =c/a的值．
求得 e=1+根号2，e=1-根号2 （舍去）
所以，离心率e=1+根号2