Question

如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝ 2根号2，点M在线段PQ上． (1)若OM

如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝ 2根号2，点M在线段PQ上． (1)若OM＝根号5，求PM的长； (2)若点N在线段MQ上，且∠MON＝30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．

Answer 1

：（Ⅰ）在△OMP中由余弦定理可得，OM^2=OP^2+MP^2-2×OP•MPcos45°，
解得PM的长为1或3；
（Ⅱ）设∠POM=α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理可得：
OM= OPsin45° /sin(45°+α)
同理，ON= OPsin45° /sin(75°+α)
故S△OMN＝ 0.25*OP^2*sin^2(45)/[sin(45°+α)sin(75°+α)]，利用积化和差，即得
S△OMN＝1/[sqrt(3)/2+sin(2α+30°)],因为0°≤α≤60°，所以30°≤2α+30°≤150°，
所以当α=30°时，sin（2α+30°）的最大值为1，
此时，△OMN的面积最小，面积的最小值8-4*sqrt(3).

Answer 2

设M的横坐标为a (a>0)，MN关于原点中心对称则M，N的坐标分别为（a,3/a), (-a,-3/a)PQ^2=(a+a)^2+(3/a+3/a)^2=4a^2+36/(a^2)>=2√{(4a^2)*[36/(a^2)]}=2*12=24（均值不等式）当且仅当4a^2=36/(a^2)即a=√3时取最小值PQ最小值为√24=2√6