Question

已知函数f(x)=-x的3次方+3X的二次方+9x+a,（1）求f(x)的单调区间；（2）若f(x)在区间【-2,2】有最大值为20

求它在该区间的最小值

Answer 1

(1)f'(x)=-3x^2+6x+9=-3(x+1)(x-3)
x<-1时，f'(x)<0，f(x)递减；-1<x<3时，f'(x)>0，f(x)递增；x>3时，f'(x)<0，f(x)递减。
所以，f(x)的单调递减区间是(-无穷,-1)和(3,+无穷)，单调递增区间是(-1,3)。
(2)f(-2)=8+12-18+a=2+a，f(-1)=1+3-9+a=-5+a，f(2)=-8+12+18+a=22+a。
所以，f(x)在区间[-2,2]上的最大值为f(2)=22+a，最小值是f(-1)=-5+a。
若最大值f(2)=22+a=20，则a=-2。
所以，f(x)在区间[-2,2]上的最小值f(-1)=-5+a=-5-2=-7

Answer 2

（1）：求出f(x)的导数等于－3倍x的平方+6倍x+9
=-3(x-3)的平方，导数小于0恒成立。所以f(x)在R上递减
（2）：由（1）知f(x)在[－2，2]上递减，所以f(x)的最小值是f(2)=32+a